半群的极大正则子半群

张心茹，罗永贵

(贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550025)

0 引言与准备

设S是半群,A是S的非空子集，∀a,e∈S,若e2=e,则称e是半群S的幂等元,A中所有幂等元之集记为E(A)。若存在b∈S使得aba=a，则称a是S的正则元，A中所有正则元之集记为Reg(A)。如果半群S中的每一个元素都是正则的，那么称S是正则半群。若存在b∈S使得a=aba,b=bab，则称b为a的逆元，a的所有逆元之集记为V(a)。易见，幂等元是正则元, 但正则元不一定是幂等元。设B⊆S是(正则)半群S的(正则)子半群，若B满足:对任意的α∈SB，有〈B∪{α}〉=S,则称B是半群S的极大(正则)子半群。

设Xn={1,2,…,n}，Tn和Sn分别是Xn上的全变换半群和对称群，记Singn=TnSn，则Singn是Tn的子半群，称Singn为奇异变换半群。对任意的1≤r≤n，设

Aiα=ai,1≤i≤r。

(α,β)∈L⟺im(α)=im(β)；(α,β)∈R⟺ker(α)=ker(β)；

(α,β)∈J⟺|im(α)|=|im(β)|

易见L⊆J,R⊆J,D=J,H=L∩R。记

我们用符号

表示Dn-1中满足下列条件的幂等元：

设n≥3，3≤k≤n，记

令E(Dn-1)为Dn-1中所有幂等元之集，于是有E(Dn-1)=E*∪E▽∪E△*且E*，E▽,EΔ*两两相交为空集。

对任意i,j,q∈Xn,做如下定义：

R(i,j)={α∈Dn-1:iα=jα}

Lq={α∈Dn-1:im(α)=Xnq}}

S1=G∪Singn

文中未定义的符号及术语参见文献[13-14]。

1 主要结果及证明

为完成定理1的证明给出以下若干引理。

引理1[5]设x,y是完全0-单半群中2个非幂等元，则xy≠0当且仅当Lx∩Ry含有幂等元，此时xy∈Lx∩Ry。

引理2[10]设1≤r≤n-1，则K(n,r)=〈E(Dr)〉且K(n,r)是正则子半群。

引理3[14]设S是半群，对任意的a∈S，则Ha中至多含有1个幂等元，若Ha中含有幂等元，则Ha是群。

引理4[14]设D是半群S的正则D-类a,b∈D，则H-类Hb包含a的逆元当且仅当H-类Ra∩Lb或Rb∩La包含幂等元。

情形1 若α∈K(n,n-2)，显然存在β∈K(n,n-2)使得αβα=α，则由正则性的定义知K(n,n-2)是正则的。

定理1的证明：

其次，证E(Dn-1)⊆E(S)。假设E(Dn-1)E(S)≠∅，任取e∈E(Dn-1)E(S)⊆Dn-1，则S∩Le≠∅且S∩Re≠∅，于是由S是正则半群可知，Le∩E(S)≠∅且Re∩E(S)≠∅，从而存在a,b∈E(S)使得a∈Le∩E(S)，b∈Re∩E(S)且a≠b。由引理1知，ab∈S∩Ra∩Lb(因为e∈E(Dn-1)且ab∈Re∩Le=Ra∩Lb)。注意到a,b∈E(S)，a,b∈S，aRabLe。再由引理4可得，存在ab的逆元c使得c∈S∩La∩Rb=S∩Le∩Re，于是c是群He中的元，从而存在自然数n使得e=cn∈S与e∈E(Dn-1)E(S)矛盾。因此E(Dn-1)⊆E(S)⊆S。

1)S1=G∪Singn