被低估的圆锥曲线第二定义*—-例谈焦半径的精彩应用

广东省中山市濠头中学(528400) 闫 伟

一、先给出圆锥曲线第二定义

圆锥曲线第二定义:曲线上的点到定点(焦点)的距离与该点到定直线(准线)的距离之比为定值(离心率).由第二定义可以求得焦半径的有关结论.

二、利用焦半径可以进一步求得焦点弦长结论[1]

(3)对抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦AB,倾斜角为θ,有|AB|=

三、应用探究

1.直线方程问题

例1(2013年高考新课标II卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )

A.y=x-1或y=-x+1

解析设直线l的倾斜角为θ,若点A在x轴上方,由焦半径公式因为|AF|=3|BF|,所以于是从而直线l的斜率又直线过点F(1,0),故直线方程为若点A在x轴下方,同理可求得直线方程为;故选C.

2.标准方程问题

例2(2019年高考全国I卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0), F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点,若|AF2|=2|BF2|, |AB|=|BF1|,则C的方程为( )

图1

解析如图1,设lAB倾斜角为θ,椭圆方程1(a＞b＞0),于是|AF2|=|BF2|=由于|AF2|=2|BF2|,所以=所以ecosθ=-1 3,故==|AB|=|AF2|+|BF2|=由椭圆定义有:|BF1|+|BF2|=2a,即,所以又因为c=1且a2=b2+c2易知a2=3,b2=2,所以椭圆故选B.

3.离心率问题

例3(2009年高考全国II卷)已知双曲线方程C:的右焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于A,B两点.若则双曲线的离心率为

解析设直线l的倾斜角为θ,双曲线的离心率为e,焦准距为p,则双曲线的焦半径由题意知|FA|=4|FB|,即于是5ecosθ=3,又因为直线l的斜率为即tanθ=所以从而

4.弦长问题

例4已知抛物线y2=4x,过其焦点的直线l交抛物线于A,B两点,M为抛物线的准线与x轴的交点,则

解析如图2,设∠AFG=θ则sinθ==tan∠AMG,同理:sin∠BFM=tan∠BFM,所以tan∠AMF=tan∠BMF,于是由tan∠AMB=得即再由焦点弦公式

图2

6.定值问题

例6(2018年广东一模)已知椭圆1 (b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,点F2也是抛物线C2:y2=8x的焦点.

(1)若M、N为椭圆C1上两点,且线段MN的中点为(1,1),求直线MN的斜率;

(2)过椭圆C1的右焦点F2作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,若求证:为定值.

解析(1)利用点差法由弦中点公式易知kMN=

7.面积最值问题

例7(2007年高考全国I卷)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求四边形ABCD面积的取值范围.

解析由题意得设直线AC的倾斜角为θ,则直线BD的倾斜角为由焦点弦长公式|BD|=所以四边形ABCD的面积因为θ∈(0,π),所以sin22θ∈[0,1],于是四边形ABCD的面积的取值范围是

8.参数范围问题

例8(2019年成都二模)如图3,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆方程:1(a＞b＞0),F为椭圆的右焦点,C为椭圆的顶点,过F的直线l交椭圆于A,B两点.

图3

(2)已知CF=2,点F到椭圆右准线的距离为3,记△AFC,△BFC的面积分别为S1,S2,若S1=λS2(λ＞0),求λ的取值范围.

(1)设直线l的倾斜角为θ,椭圆的离心率为e,焦准距为p,则由题意得即得5ecosθ= 1,又因为tanθ=所以从而椭圆的离心率

9.线段长度最值问题

例9若曲线的对称中心在抛物线C:y2=2px(p＞0)上,过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值是

解析的对称中心为(1,2)在抛物线上,从而p=2,抛物线方程为y2=4x,设直线l的倾斜角为θ,由抛物线焦半径可知故|AF|+2|BF|=等号成立条件为cosθ=从而|AF|+2|BF|的最小值为

图4

10.数量积问题

例10过抛物线的焦点的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1从左到右依次交于A,B,C,D四点,则

解析设直线l与y轴正方向所成角为θ,易求得p=2,由抛物线焦半径可知注意到直线AD过焦点,即已知圆圆心,故-(|DF|-1)(|AF|-1)=-(|DF|·|AF|--1.所以

四、结束语

运用角度形式的焦半径解题,不但可以秒杀一类涉及到圆锥曲线中过焦点的弦的相关问题,而且避免了联立方程组带来的极其复杂的运算,相比标准答案提供的解法,文中介绍的方法不仅省时省力,且准确率高,但很多学生会忽略这种解题的方法,希望本文能给同学们有所启发;在解题教学的过程中,教师要多引导学生总结规律和结论,适时应用,从而提高教学效率.