含两个绝对值函数的最值问题的研究*

浙江省宁波效实中学(315012) 童益民

含两个绝对值的函数的最值问题,是平常教学中经常碰到的题型,比如求含两个绝对值的函数的最小值,很容易想到用绝对值不等式,有些题很方便的就可以做出来,用此方法是否都可以解决这类题目,很多同学没有很清楚的认识.同样,求含两个绝对值的函数的最大值,又可以怎么解决,本文对此类问题进行研究,试图得到比较全面的认识.

解根据绝对值不等式,|a|+|b|≥|a±b|,类比可得,|u(x)|+|v(x)|≥|u(x)±v(x)|.

(1)当a≤0时,如图1,函数f(x)的最小值在x=x0处取到,由可得所以f(x)min=f(x0)=4x0-4a=-2a.

图1

图2

(2)当a＞0时,

(i)0＜a＜2时,如图2,函数f(x)的最小值在x=x0处取到,此时x0=1,所以f(x)min=f(1)=4-2a.

(ii)a=2时,如图3,函数f(x)的最小值在x=x0处取到,此时x0=1,所以f(x)min=f(1)=0.

(iii)a＞2时,如图4,当x1≤x≤x2时,函数f(x)取到最小值为0.综上,由(1)(2)得,

图3

图4

图5

解令F(x) =|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|,所以F(x)= max{|2f(x)-2|,|2f(x+l)-2|},若对任意实数x,max{|2f(x)-2|,|2f(x+l)-2|}≥2恒成立,即对任意实数x,|f(x)-1|≥1或|f(x+l)-1|≥1恒成立,(注意,上式不等价于对任意实数x, |f(x)-1|≥1恒成立,或对任意实数x,|f(x+l)-1|≥1恒成立),画出g(x)=|f(x)-1|的图像,通过h(x)=|f(x+l)-1|图像的平移,如图6,可得,即l的最小值为

图6

题3若函数f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinxacosx|(a,b∈R)的最大值为11,求a2+b2的值.

解1f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|=max{|(a+b)sinx+(b-a)cosx-1|,|(a-b)sinx+(b+a)cosx-1|}≤max{|(a+b)sinx+(b-a)cosx-1|max,|(a-b)sinx+(b+a)cosx-1|max}=max{+1,}+1=+1,所以+1=11,所以a2+b2=50.

注意,解1中用到了(max{|g(x)|,|h(x)|})max=max{|g(x)|max,|h(x)|max},此等式显然是成立的.

解2

当|asinx+bcosx|=|bsinx-acosx|且asinx+bcosx≤0时,两等号同时成立.所以+1=11,所以a2+b2=50.