圆锥曲线焦点弦的一组性质*

北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚

一、试题

题目(2019年1月北京市石景山区文科高三期末)已知椭圆=1(a＞b＞0)的一个顶点为离心率为

(I)求椭圆E的方程;

(II)设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于A,B两点,过原点的直线l2交椭圆于C,D两点.若l1//l2,求证:为定值.

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及定值问题,考查了坐标法的运用,检验了运算与求解、分析问题与解决问题的能力.试题平中见奇,内涵丰富,由特殊到一般可以得到圆锥曲线焦点弦的一组性质,是一道具有研究性学习价值的好题.

二、解法探究

解答(I)椭圆E的方程为=1,过程从略.

(II)证明(1)当直线AB的斜率不存在时,易求|AB|=3,|CD|=,则

(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的斜率为k,依题意k0,则直线AB的方程为y = k(x-1),直线CD的方程为y =kx. 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

则

所以

由此得

点评解法首先讨论直线AB斜率不存在的情况,在此基础上求出的值,这是解决定值问题常采取的策略,即从特殊位置入手,然后再转化为一般性地证明.接下来以直线AB的斜率k为参变量,借助韦达定理分别表示出|AB|与|CD|进行求解,体现了设而不求的思想.事实上,由于|AB|是焦点弦,所以本题也可以借助焦半径公式、椭圆的极坐标方程、直线的参数方程等知识解决,体现了解法的多样性,给考生搭建了施展才能的舞台.

三、推广

对试题进行一般化探究,得到下面的结论.

性质1已知椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交椭圆于A,B两点,过原点的直线l2交椭圆于C,D两点,若l1//l2,则为定值2a.

将原点一般化,有如下结论.

性质2已知椭圆1(a＞b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交椭圆于A,B两点,过点P(x0,0)(x0/=±a)的直线l2交椭圆于C,D两点,若l1//l2,则为定值

当直线l2过椭圆右顶点时,有如下结论.

性质3已知椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交椭圆于A,B两点,过椭圆右顶点M的直线l2交椭圆于另一点C,交直线x=m (ma)于点D,若l1//l2,则为定值|a-m|.

证明设直线l1的倾斜角为θ(0 ＜ θ ＜ π,且由已知可得M(a,0),则直线l2的参数方程为(t为参数),代入椭圆方程1,整理得(b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2ab2cosθt= 0,解得t=或t= 0,所以|MC|=又|MD|=,所以|MC|·|MD|=.由性质2的证明过程有所以=|a-m|,故结论得证.

当直线l2过椭圆左顶点时,有如下结论.

性质4已知椭圆1(a＞b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交椭圆于A,B两点,过椭圆左顶点N的直线l2交椭圆于另一点C,交直线x=m (m-a)于点D,若l1//l2,则为定值|a+m|.

由椭圆类比双曲线、抛物线,有如下结论.

性质5已知双曲线=1 (a＞0, b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交双曲线于A,B两点,过点P(x0,0)(x0±a)的直线l2交双曲线于C,D两点,若l1//l2,则为定值

性质6已知双曲线=1 (a＞0, b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交双曲线于A,B两点,过双曲线右顶点M的直线l2交双曲线于另一点C,交直线x=m(ma)于点D,若l1//l2,则为定值|a-m|.

性质7已知双曲线=1 (a＞0, b＞0)的右焦点为F,过点F的直线l1交双曲线于A,B两点,过双曲线左顶点N的直线l2交双曲线于另一点C,交直线x=m(m/-a)于点D,若l1//l2,则为定值|a+m|.

性质8已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,过点F的直线l1交抛物线于A,B两点,过点的直线l2交抛物线于C,D两点,若l1//l2,则为定值|x0|.

证明设直线l1的倾斜角为θ(0＜θ＜π),由已知可得则直线l1的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程y2=2px,整理得sin2θt2-2pcosθt-p2=0.设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,则,所以

性质9已知抛物线y2=2px (p＞0)的焦点为F,过点F的直线l1交抛物线于A,B两点,过原点O的直线l2交抛物线于另一点C,交直线x=m (m/=0)于点D,若l1//l2,则为定值|m|.

证明设直线l1的倾斜角为θ(0＜θ＜π,且则直线l2的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程y2=2px,整理得sin2θt2-2pcosθt=0,解得t=或t=0,所以|OC|=又所以|OC|·|OD|=由性质8的证明过程有所以故结论得证.

以上由一道试题出发,经过特殊到一般,得到了与圆锥曲线焦点弦有关的一组性质.在解题教学过程中,我们不能仅仅停留在问题的表面,还要引导学生透过现象看本质,从不同角度联想与探究,尽可能地将试题价值最大化,从而提升学生的核心素养.