两类数列不等式证明的思维解密—从2019年高考浙江卷第20题所想到的

广州市广东广雅中学(510160) 徐广华

引言我们常说,“教学既是一门科学,又是一门艺术”,如何把数学中一些“只可意会,不可言传”的思想方法用最通俗易懂的方式传授给学生,既是摆在数学教师面前的重要课题,也是体现教师功底和高明之处的专业技术.解题教学是数学教学的重要组成部分,贯穿着数学课堂的始终.多年前,华南师大附中数学特级教师李淦林曾经讲过:要从学生的视角探讨解题教学,一个好的解法,应是一个从学生实际出发的解法;应是一个“从学生中来,到学生中去”的解法;应是一个让学生经历过程体验或实践感悟的解法;应是一个使学生聪慧的解法.对此,笔者深有同感.

题目(2019年高考浙江第20题)设等差数列{an}的前n项和为Sn, a3=4, a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.

(I)求数列{an},{bn}的通项公式;

(II)记cn=,证明:c1+c2+···+cn＜

分析(I)利用等差数列通项公式和前项和公式列出方程组,可解得a1=0,d=2,从而an=2n-2,n∈N*·Sn=n2-n,n∈N*,利用(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn),容易求出bn=n2+n,n∈N*.

即n=k+1时,不等式也成立.由1○2○得c1+c2+···+cn＜n∈N*.

假设当n=k时不等式成立,即c1+c2+···+ck＜则当n=k+1时,c1+c2+···+ck+ck+1＜+要证当n=k+1时不等式成立,只要证c1+c2+···+ck+ck+1＜＜故只要证

而所以得证!

这里,我们利用分析法将这类数列不等式的证明问题化归为证明其成立的一个充分条件,思路显得非常自然、顺畅,易被学生接受.

例1(2010年高考湖北卷理科第21题)已知函数

分析(3)设则不等式的左边是数列{an}的前n项和.记不等式的右边为Tn=ln(n+1)+看作是数列{bn}的前n项和,则当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=当n=1时,b1=T1=也满足上式,故因此只要证an＞bn,即也就是证即可.用换元法:令则,只要证

评注本题是2010年高考湖北理科卷的压轴题,第(3)问难度很大,命题者的立意是想利用第(2)问的结论来解决第(3)问,但问题是将第(2)问不等式的中的x赋哪个与n有关的值才恰当呢?这里,我们通过分析法进行一步一步地转化,将解题思路暴露无遗,远比参考答案中提供的“帽子里变出兔子”的方法容易理解和掌握!

例2(2012年高考天津卷理科第20题)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a＞0.

分析(3)原不等式即为2+ln(2n+1)(n∈N*),等价于证明:ln(2n+1)(n≥2),因为所以只要证ln(2n+1)(n∈N*),设,则不等式的左边是数列{an}的前n项和.记不等式的右边为Tn=ln(2n+1)看作是数列{bn}的前n项和,易得因此只要证an＜bn,也就是证即可.用换元法:令则只要证

例3(2008年高考陕西卷理科第22题)已知数列{an}的首项n=1,2,···.

(1)求{an}的通项公式;

(2)略.(3)证明:a1+a2+···+

分析(过程略);(2)略.

(3)不等式的左边是数列{an}的前n项和.记不等式的右边为看作是数列{bn}的前n项和,易得因此只要证an＞bn,也就是证即可.只要证3n+2＞2n(n+1),即证

注意到:当n=2时,不等式(*)不成立.因此考虑对原不等式分类讨论证明:当n=1时,左边=右边;当n=2时,左边=右边;所以,当n=1,2时原不等式成立.

评注本题是2008年高考陕西理科卷的压轴题,参考解答中第(3)问的证明如下:由(2)知,对任意的x＞0,有

以上证明过程尽管非常精妙,让人叹为观止,但试问在紧张的高考场上有几个考生能想到对第(2)问中的赋这样“古怪”的值呢?此外,为了证明第(3)问,命题者“处心积虑”创造出第(2)问这个不等式作为铺垫,可谓用心良苦!但如果没有了第(2)问这一“绝技”,笔者的解题思路将显得更加平实.

例4(2012年广州一模理科第21题)设f(x)=ex(e为自然对数的底数),gn(x)=1+x++···+

(1)证明:f(x)≥g1(x);

(2)当x＞0时,比较f(x)与gn(x)的大小,并说明理由;

分析(1)略;(2)用数学归纳法或作商构造函数求导后由单调性得f(x)＞gn(x);

(3)由(2)知,gn(1)＜f(1)=e,只要再证

证法3由n元均值不等式,得即两边n次方,得证!

例5在数列{an}中,已知a1= 2, an+1=

(1)求数列{an}的通项公式;

分析(过程略).

例6(1)求证:＜ln(n+1)＜

分析(1)记Tn=ln(n+1)看作是数列{bn}的前n项和,易得记,则只要证an＜bn＜cn,用换元法:令则只要证移项构造函数,求导后利用单调性即可证之(过程略).

设An和Bn分别为数列{an}和{bn}的前n项积,显然,若0＜an＜bn(n∈N*),利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质,则有An＜Bn.这启发我们,要证明不等式,如果记Bn=f(n)看作是数列{bn}的前n项积,则那么只要证其通项满足0＜an＜bn(充分条件)即可.

例7(2009年高考山东卷理科第20题)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b＞0且b/=1,b,r均为常数)的图像上.

(1)求r的值;

分析(1)r=-1(过程略).(2)当b=2时an=2n-1, bn=2n,则不等式的左边是数列{cn}的前n项积,记不等式的右边为看作是数列{dn}的前n项积,则当n≥2时,当n=1时,也满足上式,故因此只要证cn＞dn,即证只要证由基本不等式,得得证!

评注以上分析思路清晰,比参考答案中用数学归纳法证明要简洁得多,比挖空心思用“放缩法”少了技巧,降低了思维的起点,也充分暴露了“放缩法”的思维过程.

例8(2009年高考广东卷理科第21题)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,···).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln,切点为Pn(xn,yn).

(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式;

例9(2008年高考福建卷理科第22题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)记f(x)在区间[0,n](n∈N*)上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-bn.

分析(1)略;(2)an=n,1○略.前n项和,记不等式的右边为看作是数列{dn}的前n项和,易得dn=因此只要证cn＜dn,而故只要证记,则cn是数列{xn}的前n项积,设看作是数列{tn}的前n项积,则易得因此只要证xn＜tn,即证例8分析(2)已证.

例10(2012年深圳一模理科第21题)已知数列{an}满足:n∈N*,(其中e为自然对数的底数).

(1)求数列{an}的通项an;

(2)设Sn=a1+a2+···+an, Tn=a1·a2·a3·····an,求证:

分析(1)an=(过程略).

(2)记Bn=看成是数列{bn}的前n项和,易得因此,要证只要证an≤bn,

只需证en-1≥n(n∈N*).构造函数f(x)=ex-1-x(x≥1),则f′(x)=ex-1-1≥0,故f(x)在[1,+∞)上是增函数.因为n≥1,所以f(n)≥f(1)=0,移项得en-1≥n,得证!记Cn=e-n2看成是数列{cn}的前n项积,易得cn=e-(2n-1)(n∈N*).因此,要证Tn＞e-n2,只要证an＞cn,只需证(n+1)en-1＜e2n-1,即证en＞n+1(n∈N*).因为n+1＞1,所以f(n+1)＞f(1)=0,移项得en＞n+1,得证!

结束语

数学解题教学既要为学生的学习创设情境和想象的空间,也要为学生的学习创设思维的空间,引导学生如何去思考、去分析、去发现、去感悟、去创造,进而提升学生的数学核心素养.如果老师的解题讲解只是一味地照搬参考答案,让学生错误地以为数学解题就是追求一些只可意会不可言传甚至是虚无缥缈的高超技巧,忽视了通性通法,不知来龙去脉,也不知从何想起,没有从学生的角度去思考、分析问题,没有暴露解题的思维过程,那么学生就很可能只有欣赏的份—-心有余而力不足.

数学核心素养的提升是一个综合持续发展的过程,它并非单纯地通过被动接受数学事实来实现,而是更多地需要通过对数学思想方法的领悟,对数学知识的自我构建等活动来实现.因此课堂上师生、生生多探讨交流,多暴露思维的过程,这对培养学生数学思维的灵活性、创造性等都有积极的作用.