利用面积证明不等式探究

新疆生产建设兵团第九师龙珍高级中学(834600) 王宏刚

高考数学中,经常出现一些证明不等式的问题,这类问题往往可以看成是数列不等式问题.与数列有关的不等式除用数学归纳法证明外,这类问题经常涉及函数,不等式等综合知识,对数学知识技能,数学思想意识等的要求非常高.本文将以几道高考题为例,探究如何利用面积的关系证明此类不等式.

一、数列的和比曲面图形的面积小

例1(2014年高考陕西卷理科第21题)设函数F(x)=ln(1+x),G(x)=xF′(x),(x＞0),其中F′(x)是F(x)的导函数.

(1),(2)略.

(3)设n∈N*,比较G(1)+G(2)+···+G(n)与n-F(n)的大小,并加以证明.

解析(3)由条件知G(x)=故

要比较G(1)+G(2)+···+G(n)与n-F(n)的大小,只需要比较与F(n)的大小.

图1

以上通过图形与构造代数式将问题进行转换,从而实现了数与式的转化,解决此类问题除了常规方法,还可以将函数问题转化为面积关系问题,将面积关系问题转化为定积分问题,这种方法可以解决函数不等式问题.特殊地,可以解决数列不等式问题.上面的可以看作是调和数列求和问题.

例2(2012年高考天津卷)已知函数f(x)=x-ln(a+x)的最小值为0,其中a＞0.

(1),(2)略.

解析(3)欲证-ln(2n+1)＜2(n∈N*),即-ln(2n+1)＜2(n∈N*),即是ln(2n+1)(n∈N*),这个不等式可以利用上面的方法,将问题转化为面积关系来求证,过程略.

经过上面的两个例子,我们可以得到

性质若数列{an}是等差数列,an=pn+q且an＞0,q＞0,为数列{bn}的前n项和,则

例3(2011年高考四川卷理科第22题)已知函数

(1),(2)略.

图2

图3

分析(3)如图2所示,利用例1的方法,然后代入f(100)h(100)发现其值是负数,则判断f(100)h(100)但发现这与答案不符,究其原因,是因为我们把的值放的太大,导致最后的结果出错了.经过一番思考,我们发现了将矩形的面积可以转化成梯形的面积,从而缩小了梯形面积的和与曲边梯形面积的差距,从而把的值放的小了,问题得以解决,解法如