2019年高考全国III卷理科第21题探究与推广

华南师范大学数学科学学院(510631) 王先义 刘秀湘

2019年全国卷III文理科试卷的压轴题第21题以解析几何知识作为命题内容,打破了过去以函数内容为压轴题的惯例,这是今年高考数学命题的重大变化.该题在考查学生基础知识的同时,注重对能力、思想和方法方面的考查,有知识覆盖面宽、综合性强、思维量大、方法多等特点.不仅如此,该题蕴含了丰富的高等数学背景,给我们留下了广阔的探索空间.本文基于高等数学的视角对问题的解法及其背景进行探析,发现了诸多有趣的命题,同时获得了命题成立的充要条件和适用范围.该题完全符合赵思林教授提出的一个“好”的数学问题应该具有以下六个特点:“立意的鲜明性、背景的深刻性、问题的探究性、思想的启发性、方法的多样性、问题的推广性”,[1]是一道考查学生数学素养和能力的“好”试题.

一、试题呈现及评析

图1

(1)证明:直线AB过定点;

试题评析该题第(1)问是经过动点作抛物线两条切线,生成一条“动”弦,证明动弦AB过定点的问题,主要考查圆锥曲线中抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识;主要考查函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想;综合考查学生探究分析问题能力、解决问题能力和创新意识.第(2)问以第(1)为基础,再结合动直线与圆的位置关系等知识,考查学生的转化、分类讨论的数学思想,考查学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的能力.试题重点突出,层次分明,对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略以及思想和能力都有较高的要求,较好地达到了考查目的,体现能力立意的命题原则.

二、试题解法探析

由于第(2)问以第(1)问为基础,第(1)问中图形结构优美(如图1),且具有很好的可探究性,因此我们只研究第(1)问.第(1)问的解答,常见的有三种解法:

方法一利用切线方程得切点弦方程

评注先求出A,B两点的切线方程,利用两切线共点,从而发现A,B两点都在直线上,从而巧妙地求得动弦AB的方程,使问题获解.难点在于考生不能从式子中抽象出“动”弦AB的直线方程,实际是直线方程点斜式的另一种呈现形式.

方法二利用韦达定理得切点弦方程

评注利用待定系数法设“动”弦直线方程,将曲线C方程与动直线方程联立,利用韦达定理得到两切点的关系.由于两切线共点,联立切线方程求解公共点,结合韦达定理化简得到“动”弦直线方程中的参数.思路较为清晰,循序渐进,是大多数学生可能采取的方法,但由于未知量较多,对学生的计算能力要求较高.

方法三利用特殊值探究切点弦方程

评析此方法另辟蹊径,采取“特值引路,先猜后证”的思想,既然是定点,说明这个点是确定的,与变化的直线AB和变化的点D都无关,以退为进,从特殊位置出发猜想出定点坐标,再反过来验证其充分性.

三、第(1)问的推广

直线AD,BD是从D向抛物线引的两条切线(切点分别为A,B),不管D在直线上怎样运动,直线AB过定点始终成立.我们自然要问:

(1)如果直线变成y=t(t＜0)时,直线AB还过定点吗?

(2)如果将确定抛物线改成任意的抛物线、椭圆、双曲线等,结论还成立吗?(3)如果过定点的直线与曲线C交于相异的两点,过这两点作曲线C的切线,在切线相交的情况下,交点所在的定直线方程与“动”弦所过定点有联系吗?

通过探究发现上述问题答案都是肯定的,并且找到动直线过的定点与动点处切线的交点所在的定直线的联系.相关结果如下:

命题1已知曲线C:x2=2py(p＞0),D为直线y=-t(t＞0)上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB仍过定点(0,t).

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),D(m,-t).对x2=2py(p＞0)求导得则曲线C在A处切线方程为又点D(m,-t)在切线上,则即同理可得观察发现A,B两点都在直线+t上,因此直线AB过定点(0,t).对于其它三种情况的抛物线结论亦成立.

命题2已知曲线C:x2=2py(p＞0),A,B为曲线C上的相异两点,过A,B两点分别作曲线C的切线,两切线交于点D,D在定直线y=-t上的充分必要条件是直线AB过定点(0,t).

必要性.其证明过程如命题1.

命题3已知曲线C:x2=2py(p＞0),A,B为曲线C上的相异两点,过A,B两点分别作曲线C的切线,两切线交于点D,若D在定直线上(或者AB过定点则DF⊥AB.反之,若过焦点F的直线与曲线C交于A,B两点,过点F作FD⊥AB交准线于D,则AD,BD为曲线C的两条切线.

对于其它三种情况的抛物线,相应的命题和推论亦成立.

命题4已知曲线C:x2=2py(p＞0),A,B为曲线C上的相异两点,过A,B两点作曲线C的切线,两切线交于点D,动点D在定直线x0x=p(y+y0)上的充分必要条件是直线AB过定点(x0,y0).

证明过程与命题2相仿,此处不再赘述.

命题5已知曲线=1(a＞b＞0),A,B为曲线C上的相异两点,过A,B两点作曲线C的切线,两切线交于点D,D在定直线x=t上的充分必要条件是直线AB过定点

必要性.设D(t,m)曲线C在A处切线方程为又D(t,m)在此切线上,所以1.同理观察A,B两点都在直线上,因此直线AB过定点

命题6已知曲线=1(a＞b＞0),A,B为曲线C上的相异两点,过A,B两点作曲线C的切线,两切线交于点D,D在定直线=1上的充分必要条件是直线AB过定点(x0,y0).

证明过程与命题5相仿,此处不再赘述.

命题7已知曲线=1,A,B为曲线C上的相异两点,过A,B两点作曲线C的切线,两切线交于点D,D在定直线=1上的充分必要条件是直线AB过定点(x0,y0).

证明过程与命题4相仿,此处不再赘述.

在上述结论的基础上,我们可以提出更一般的命题:

命题8若非退化二次曲线C:F(x,y)=0,M,N为曲线C上的相异两点,过M,N两点作曲线C的切线,两切线交于点D,求证:D在定直线上的充分必要条件是直线MN过定点.

四、试题背景

实际上,此题涉及到高等几何中的极点、极线等知识.

极线是圆锥曲线的一个常用概念,如图2所示,无论P(x0,y0)在曲线内部还是外部,过点P作两条割线PEF,PGH,分别交曲线C于点E,F和G,H,设直线EH,FG交于点N,FH,EG交于点M,则点P关于曲线C的极线是直线MN[2].

图2

题目中的动点D是直线AB关于抛物线的极点,直线AB是点D关于抛物线的极线.极点、极线有许多重要的几何性质,根据前面几个命题以及极点极线定义,结合几何画板,我们不难发现:

性质1当定点P(x0,y0)在曲线C上时,点P关于曲线C的极线就是曲线C在P处的切线.

性质2当定点P(x0,y0)在曲线C外部时,若过点P作曲线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,则点P关于曲线C的极线是直线AB.

性质3当定点P(x0,y0)在曲线C内部时,点P关于曲线C的极线是曲线C过点P的割线两端点处切线的交点轨迹.

根据前面探究可以发现,圆锥曲线的焦点和准线就是极点与极线的关系.

限于篇幅,上述3个性质不再一一证明,有兴趣的读者结合命题8即可获证.

除此之外,极点极线还蕴含着许多性质,其中较为重要的是调和点列和调和线束,在2008年安徽卷,2010年江苏卷,2011年四川卷,2012年福建卷、2017年北京卷,2018年北京卷等试卷中的解析几何部分都对其进行了考查,由于篇幅关系,此处不做解答,有兴趣的读者可以尝试研究.现将试题摘录如下:

(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足证明:点Q总在某定直线上.

题目2(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xoy中,如图3,已知椭圆=1的左、右顶点为A,B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1), N(x2,y2),其中m＞0,y1＞0,y2＜0.

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;(2)设求点P的坐标;(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

图3

题目3(2011年高考四川文科卷)如图4,过点C(0,1)的椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.

图4

(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;(2)当点P异于点B时,求证:为定值.

题目4(2012年高考福建理科卷)如图5,椭圆1(a＞b＞0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率过F1的直线交椭圆于A,B两点,且ΔABF2的周长为8.

图5

(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

题目5(2017年高考北京理科卷)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A为线段BM的中点;

题目6(2018年高考北京理科卷)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B.且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

五、总结反思

美国著名数学家哈儿莫斯曾说:“问题是数学的心脏”.探究是解决问题的基本途径,心理学研究表明,情景产生问题,问题引发探究,探究激发创新思维,创新思维形成缄默知识.缄默知识的生成离不开问题意识的生成和数学探究的训练.近年来,以高等数学背景进行命题是高考的热点,此类试题具有广阔的探索空间,应该引起广大教师和研究者的注意,作为教师和研究者也应该立足于高考试题,充分挖掘和发挥试题的作用和价值,在研究高考试题过程中来充实自己,丰富个人的专业知识,从采一朵蘑菇出发,去找一堆蘑菇.