关于“乘法公式”的几点教学建议

2019-12-02杨玲

数学教学通讯·初中版 2019年10期

杨玲

[摘要] 文章提出关于“乘法公式”的几点教学建议：重视公式的生成教学;重视公式的直接应用;重视公式的创新应用. 并培养学生数学思维的灵活性与创造性.

[关键词] 乘法公式;教学建议;初中数学

乘法公式主要包括完全平方公式和平方差公式，这两个公式是学生进行多项式运算的基础，在初中数学中有着极其重要的地位. 通过教学，教师不仅要教会学生灵活应用完全平方公式和平方差公式解决实际问题，还要让学生学会运用知识的迁移与转化解决其他相关问题，以培养学生数学思维的灵活性与创造性. 正是因为“乘法公式”的重要性，所以教师在教学中不可掉以轻心. 下面，笔者结合教学实践提出几点建议，供大家参考.

重视公式的生成教学

教学，不仅要让学生知其然，更要让学生知其所以然. 所以教师应重视数学公式、定理的生成教学. 在应试教学的背景下，有的教师往往会忽视这一点，其误以为学生只要能记住公式，会用公式解题就可以了，没有必要花很多时间去推导公式，这种急功近利的做法违背了教学规律，也脱离了以人为本的教学原则，把学生当成了解题机器，忽略了学生在数学学习中的感悟与情感，从而促使学生产生对数学的厌恶心理. 其实，数学公式的生成是一个让人十分愉快的过程，完全平方公式和平方差公式的生成就是如此. 教师可以针对学生的年龄特征，设计问题情境，聆听学生的心声，把握学生智慧的闪光点来促进生成 [1].

1. 完全平方公式的生成教学

创设问题情境：有一位大学生带领村民推广农业科技，走共同致富的道路. 第一年，他在一块边长为a米的正方形农田里种上了优质的杂交水稻，秋收时收获很大. 他的成功使老农深受感染，老农下决心也要走科技兴农的道路. 他把自家的一块边长为a米的正方形农田，边长增加b米，形成如图1所示的四块试验田，种植了不同的新品种. 大家想一想，老农能实现他的富裕之梦吗？

由图生成公式：如图1所示，改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

法1：老农原来的正方形农田的边长为a，改造后的正方形农田的边长为（a+b），这时这块农田的面积为（a+b）2.

法2：也可以把大正方形农田看成四块农田面积之和，它们的面积分别是ab，b2，a2，ab，所以改造后的农田的总面积为a2+2ab+b2.

上面两种方法看似形式不同，却都表示同一块农田的面积，所以它们是相等的，于是有（a+b）2=a2+2ab+b2成立[2] .

2. 平方差公式的生成教学

探究公式：如图2，将一个边长为a的正方形，从一角剪下一个边长为b的小正方形，再把剩下的部分剪成两个长方形并拼成一个大长方形，请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系.

剖析公式：在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其结构：（1）两个二项式相乘位于公式的左边，其中两个因式的前一项相同，后一项互为相反数;（2）右边是相同项与互为相反数的项的平方差，即a2-b2.

从上述公式的生成过程可以看出数形结合思想，同时能让学生感知数学的本质特征，从而激发学生对数学的热情，体现了数学的核心素养，应引起教师的重视.

重视公式的直接应用

学以致用，是新课标的理念. 学了公式，目的就在于利用公式简化运算，解决问题. 初学公式的运用时，不宜步子迈得太大，应首先学会公式的直接应用，主要包含利用公式化简与求值，可以是数字运算，也可以是字母运算. 设计的题目难度要有梯度，且能让学生经过练习之后，获得一些直接经验与解题感悟.

1. 对公式的认识与直接应用

例1 （1）下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有（）

①（-2ab+5x）（5x+2ab）;②（ax-y）·（-ax-y）;③（-ab-c）（ab-c）;④（m+n）·（-m-n）.

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

（2）利用完全平方公式计算： ①（2x-3）2; ② （4x+5y）2; ③ （mn-a）2.

分析（1）从公式的特征看，①②③可用平方差公式.

（2）先观察，选定运用哪个完全平方公式，再搞清楚哪个是完全平方公式中的a，哪个是完全平方公式中的b，然后准确代入公式，最后化简.

2. 对公式的灵活应用

例2 （1）计算：（2+1）（22+1）（24+1）·（28+1）（216+1）（232+1）+1;

（2）计算：（a+2b-3）2.

分析（1）通过观察可以发现2+1与2-1，22+1与22-1，24+1与24-1等可以使用平方差公式，所以只需在前面添上因式（2-1），即可利用平方差公式逐步计算.

（2）三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，所以可以用加法结合律将a+2b-3化成a+（2b-3），即看成a与（2b-3）的和的平方再應用公式.

在教学中，教师应重视公式的直接应用. 直接应用看似简单，其实在应用的过程中学生也会暴露一些问题，比如对两个公式混淆，应用时忽视符号，甚至看不出如何应用公式解题. 这些都是教师教学中不可忽视的着力点，因为只有让学生学会了对公式的直接应用，才能引导学生对公式进行创新应用，从而进一步提高他们的探究能力和创新能力.

重视公式的创新应用

引导学生掌握乘法公式的直接应用后，教师应着力于引导学生对乘法公式进行创新应用，尤其是完全平方公式，它是数学重要解题方法之一的配方法的源泉，在整个中学数学领域中有着广泛的应用. 教师不仅要让学生知道两个完全平方公式之间的重要关系，还要掌握利用这种关系解题.

例如，两个完全平方公式之间的重要关系：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab;（2）（a+b）2-（a-b）2=4ab.

解題功能：知二推四，即在a，b，a+b，a-b，ab，a2+b2中，只要能够知道其中两个式子的值，就能根据完全平方公式求出另外四个式子的值！

例3 已知a+b=7，ab=12，求下列各式的值：（1）a2-ab+b2;（2）（a-b）2.

此外，教师在教学中还要引入有关乘法公式创新应用的相关问题，以锻炼学生的思维，开阔学生的眼界，让他们感受数学的神秘与乐趣. 如下面几道题：

题1 有些数字看起来非常神秘，比如某些正整数能表示为两个连续偶数的平方差，如4=22-02，12=42-22，20=62-42，我们暂且把它们叫作“神秘数”. 请问：

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由.

（2）试说明“神秘数”能被4整除.

（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由.

题2 图3是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中的虚线用剪刀平均分成4个小长方形，然后按图4的方式拼成一个正方形.

（1）图4中阴影部分的面积为______.