“探索三角形相似的条件复习课”教学设计

[摘  要] “三角形相似的判定复习课”设计思路立足于“让学生的数学自然而然地生长”. 根据学生自身的掌握情况，由学生来添加条件推理出相应的结论，满足学生的“最近发展区”. 并在此基础上进行相应的难度提升和知识拓展，小步地巩固和提高，最终完成相似三角形判定的知识掌握和熟练运用.

[关键词] 生长数学;最近发展区;复习课;三角形相似

教材分析

“相似三角形的判定复习课”是北师大版九年级上册第四章第四节的内容. 是学生学习了“平行线分线段成比例”“探索三角形相似的条件”等知识后的一个复习内容，为后面利用三角形相似解决实际问题以及九年级下册三角函数、研究圆中比例线段的学习做了铺垫，在平面几何的学习中起着承上启下的作用，因此须熟练掌握三角形相似的判定并灵活运用. 本节课以“生长式”的方法进行教学设计，让学生通过观察和思考达到知识的拔节.

学情分析

初三年级的学生，他们的思维已处于理论型逻辑思维阶段，具备一定的抽象思维能力和演绎推理能力，他们的思维相对活跃，动手操作能力逐渐成熟，能主动参与课堂的操作、探究.

教学任务分析

1. 教学目标分析

（1）通过学习，学生进一步巩固“三角形相似的判定定理”，认识基本图形，学会从复杂图形中整理出基本图形，能分析其中的基本元素及对应关系并解决数学问题.

（2）在解决问题的过程中，让学生感受图形的运动变化，能动态地看问题，感受数形结合、分类讨论等数学思想方法.

（3）学生通过思考与交流，提高学习相似三角形知识的兴趣和积极性，通过相互协作尝试解决问题，树立学习的自信心，在解决问题中体验数学的价值.

2. 教学重点分析

根据已有条件，进一步添加或者寻找新的条件得出三角形相似，并运用相似关系找出线段之间的数量和位置关系等.

3. 教学难点分析

在动态中分类讨论三角形相似的多种情况，并由此进行相关运算;在学习过程中能根据条件找出或者构造如“一线三等角”等模型.

教法与学法分析

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动、共同发展的过程. 遵循这一原则，再结合初三年级的思维和心理特征，本节课采用情境——问题教学法. 具体做法是：设置情境——教师提出问题——师生共同解决问题——数学应用. 这种教学方法能激发学生的求知欲，调动学生的学习积极性，使学生主动参与数学实践活动，让学生在教师的指导下以独立思考和相互交流的形式，发现问题、分析和解决问题.

教学过程分析

1. 温故知新

问题1：如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的两个点，请你另添加一个条件，使△ABC和△ADE相似，并说明添加条件的理由.

设计意图  为了突破传统的提纲式、背诵式、无悬念的复习套路，转而由学生自主添加条件得到相应的知识，使得绝大多数学生都能根据自己所掌握的知识完成相应难度和层次的任务，使得复习能够覆盖大多数学生，让其掌握的知识自然而然地生长，并为下一个环节的说理做好了铺垫.

问题2：在第一个环节的基础上连接DC，BE相交于点O. 看一看，议一议，两个图中各有几对三角形相似？

我们知道，对于图2，学生根据所添加的平行线就可以得到同位角、内错角相等，继而推出△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB. 而对于图3，很多学生可能仅仅因为添加的一组角相等只能得到△ADE∽△ACB. 但事实上图4中能推导出4组相似，每推出一个相似，都可作为下一个相似的条件.

设计意图  绝大多数学生可以迅速从图3中由平行得到2组相似，这个比较简单. 而要从图4中得到4组相似是需要认真思考和推理的. 这样的设计对于学生全面掌握相似的判定及灵活运用是非常有帮助的. （具体分析见图5、图6）

问题3：进一步追问图4中，△OBD与△OCE是否相似？

DE∥BC？圯 = 是对的，但要证明△OBD∽△OCE，DO，EO，CO，BO四条对应线段的对应关系不对，必须是 = 才行，所以此问题无法证得，因此无法判断.

而对于图5中的4组相似三角形，学生只有熟练掌握了相似三角形的判定，才能全部推导出来，这个要求相对高一些. 这也是通过数学知识的生长，提高学生“最近发展区”的水平高度.

2. 思维拓展

问题4：在图6中，如果AB=8 cm，AC=10 cm，点P从A点出发，以2 cm/s的速度向B点移动，点Q从C点出发，以1 cm/s的速度向A点移动. 当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动. 设运动时间为t s，那么t为何值时，△APQ与△ABC相似？

问题5：在图7中，如果AB=AC，点P（不与B，C重合）继续在BC边上运动，点Q在AC边上运动，保持∠APQ=∠C. 请问有哪些三角形相似？

问题6：你在图8中，能发现特殊的结论吗？如果∠ABC是30°、45°、60°的情况呢？

设计意图  在前面的温故知新后，要求学生能够合理运用自己所掌握的知识解决问题. 因此在图1的基础上进行了动态问题的设计，但仍然和温习的知识有充分联系. 而图7是动点运动到BC边出现的“一线三等角”的情况，也为接下来图8“一线三等角”模型的拓展埋下伏筆，课堂上自然生长到含特殊角如45°、60°、90°的“一线三等角”模型.

3. 交流探讨

问题7：如图9，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°.

（1）探索△ABD和△DCE是否相似？

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式x的取值范围.

（3）求出当BD为何值时AE取得最小值.

（4）当AE取最大值时，请判断△ADE的形状.

设计意图  交流探讨的问题对思维拓展问题中涉及的“一线三等角”的情况进行了补充，并设计了函数和最值问题. 这种设计既考虑了学生本身的知识储备情况，又能让学生在已有知识的层面上进一步拓展思路，培养数学抽象思维和知识迁移的能力.

4. 课后作业

问题8：如图10，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC上. 又点F在边AC上，且∠DEF=∠B.

（1）求证：△FCE∽△EBD;

（2）当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S =4S . 如果有可能，那么求出BD的长，如果不可能请说明理由.

5. 总结归纳

（1）请梳理本节课的知识点有哪些？

（2）请总结本节课的数学方法、数学思想和数学模型.

简述教学设计总体思路

这节课的教学设计思路主要在以下几点：

1. 注意了新旧知识点之间的逻辑联系

根据学生的原有认知基础、认知水平、認知规律，站在学生的角度去设计教学，达到学生最近发展区的心理认知.

2. 重视学生知识结构的重建

也就是我们常常提到的“生长数学”. 例如相似判定的回顾和运用之间用同一个母图（图1）加强联系，让学生在课堂上亲自参与“知识再发现”的过程，经历探索新知的过程. 在拓展运用中也不是随意找题目，而是在母图中加入了运动元素，使得题目和思维运动了起来.

3. 加强数学思想方法的渗透

所有的设计，从图2到图10都是在最初图1学生添加的那两个条件中变化出来的. 所以整个设计以“精心提炼、着意渗透、反复孕育、经常应用、小步推进、分层达到”去实施数学思想方法的教学.

4. 加强数学思维训练

学生的思维是从问题开始的，设计的问题难度有坡度，能让不同层次的学生都能够得到能力的发展. 本节课以“生长式”的教学设计使得学生进行充分思考，进而实现对学生的思维锻炼，自然而然地促进知识生长，将数学核心素养渗透在整节课当中.