构造辅助圆突破教学难点的实践策略——谈数学专题课《构造辅助圆》

孙 明

(江苏省常州市新北区龙虎塘中学 213000)

一、教学背景

对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件,从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的集中.辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解.基于学生已有经验：到定点的距离等于定长的点的集合是圆；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等.感悟动点在运动过程中所形成的轨迹，逐步培养运用数学建模思想，探究解决动点问题的途径的能力.之前听过某教师的《构造辅助圆》专题课，教师运用几何画板直接呈现辅助圆，少了学生发现辅助圆的过程，可想而知学生的收获甚少.故本人想借此节课，和学生一起探究，通过多种探究方法的对比，来突破构造辅助圆的难点.

二、教学解析

例1(到定点距离等于定长模型)如图1所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD,∠ABC=80°，求∠ADC的度数.

设计意图：新知识的形成都有其固定的知识生长点，找准知识的生长点，才能突出重点、突破难点.本题是根据圆的集合定义，学生能想到A、D、C三点到点B的距离相等，因此都在以B为圆心的圆上，构造圆不困难.

例2如图3,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF.(1)在折叠过程中，点A′所形成的轨迹是怎样的？

(2)求A′C的长的最小值.

难点突破分析：引导学生由旧入新，组织积极的迁移，促成由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的联系，不断完善认知结构.此题对于尖子学生来说很快找到图中三段相等的线段EA=EA′=EB,根据例1构造辅助圆.但对于大部分学生来说，折叠问题的情景不理解，在复杂问题中不能简化背景.因此，我设计了第一小问引导学生再去画出另一A′点.发现大部分学生画不对位置，原因是没有分析出折叠过程中的不变量.所以让学生再动手去折一折，将得到的A′ 点描出来得到图4后再一起分析变化与不变的量，得到图5.A′C的最值显然是E、A′、C三点共线时，得到图6.例1与例2要突出“共同点”，进而突破重、难点.

例3(定长对直角模型)如图7，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠APC=90°，连接BP，线段BP长的最小值为____．

难点突破分析：此题找不到到定点的距离等于定长的模型了，先让学生用直角尺依据定长为AC画出不同的点P(图8)后让学生交流点P的运动轨迹是什么.发现点P在以定长AC为直径的圆上，构造圆(图9)后求最短距离与例2一样分析.例3与例2有知识的不同点也有知识的相同点，要让学生归纳总结.

例4(定长对锐角模型)如图10，四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=50°，∠DBC=30°，求∠BAD的度数.

难点突破分析：根据∠BAC=∠BDC这一条件发现有一定长是BC，∠BAC=∠BDC=50°说明BC不是直径，与例3有类似的地方也有不同的地方.说明BC是同一条不是直径的弦，根据同弧所对的圆周角相等的定理，构造△ABC的外接圆(图11)解决问题.

三、教学反思

每节课我们都要围绕一个知识点进行教学，并进行有效的挖掘与延伸，针对学生的实际情况，对知识中难以理解接受的知识进行有效的突破.衡量数学教学是否有效的基本标准之一，就是看教师在教学中能否突出重点，根据学生实际，突破难点.这节课的难点突破的方法是通过引导学生去动手折一折、画一画、想一想；同伴交流等形式去操作.本节课对于程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能够在几何题中想到利用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆，辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.