“高观点”视角下的初中数学教学

杭静

[摘  要] “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而是用高观点思想、方法、知识、思维统领、驾驭、关联学生的初中数学学习. 只有从高观点视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. “高观点”视角下的初中数学教学，能让学生的数学学习呈现出勃勃生机和新的景象.

[关键词] 初中数学;高观点;数学教学

所谓“高观点”是指用高等数学、现代数学的知识、思想和方法来分析、解决初等数学（中小学数学）知识. “高观点”视角下的初中数学教学，不是将高等数学知识教学下移，而重点是“用通俗易懂的语言向学生介绍或适当补充一些与高等数学相关的思想、方法等” . 只有从较高视角来理解、认识初中数学教学，教学才能居高临下、深入浅出. 这其中，最为常用的教学方法就是渗透、植入、嵌入和融入.

渗透“高观点”思想，改变初中数学教学观念

德国著名数学家、数学教育家克莱因深刻地指出，许多初等数学知识，只有放置到高等数学视角下，才能得到较为合理、较为科学的理解. 渗透高观点思想，是高观点视角下初中数学教学的基本内涵.

比如，化归思想是初中数学的一种高阶思想. 在化归思想下，解决初中数学问题有许多具体的方法. 这些方法，一般都能将未知化为已知、将陌生化为熟悉，因而都受化归思想的统摄. 比如教学函数y=ax2+bx+c的图像这一部分内容，教师可以从学生已有知识经验出发，切入学生数学认知的“最近发展区”. 针对学生已学的三个简单的二次函数——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a（x-b）2”入手，通过类比法、数形结合法等，引导学生自主探究，逐步推出函数“y=a（x-b）2+c”这一新教学内容. 可以将“y=ax2”的函数图像沿着y轴向上或者向下平移若干个单位，再向左或向右平移若干个单位，得到“y=a（x-b）2+c”图像. 如此，教师运用学生所熟悉的知识，构建新的数学知识. 这个过程，教师要充分发挥学生的主观能动性，既让学生理解了数学知识的来龙去脉，更让学生洞察了数学知识的内在关联. 在具体的数学知识实践过程中，学生自己展开严谨的推导，自己进行理性的计算. 在这个过程中，数学的转化思想牵引学生的数学学习，学生主动地类比、将数与形结合思考. 用数学的思想牵引、指导数学教学，让数学课堂教学焕发出生命的活力，学生能深刻理解、把握数学知识的实质.

植入“高观点”方法，丰富初中数学教学形式

“高观点”思想下的方法，是具有统摄作用的方法，其运用性强、组织性高，具有再生性、生长性等特性. 从学生学习视角看，“高观点”视角下的数学方法，具有一种活性以及知识的繁殖性. 换言之，数学方法是贯穿于学生数学学习始终的，是贯穿于不同的数学知识学习之中的.

以类比方法为例，所谓“类比”，是指根据两个或者两类对象之间某些相同或相似属性，推导、推演出它们在其他方面也存在着某些相同或相似属性. 类比，是一种重要的数学思考方法，它是合情推理的一种. 比如学生学习“一元一次不等式的解法”可以类比“一元一次方程的解法”，因为它们都要经过“去分母、去括号、移项、合并同类项”等过程，都是将未知项的系数化为1;比如分数加减法可以类比分式加减法，因为数与式具有一种通性，都是借助于基本性质、通分、约分、四则运算等展开;再比如，学生学习“圆与圆的位置关系”可以类比“直线与圆的位置关系”，学习反比例函数、二次函数可以类比一次函数，等等. 在数学教学中，植入数学方法，能够丰富初中数学教学形式. 从学生学习数学视角来看，方法犹如一个纲，纲举目张;方法犹如一个支点，抓住方法，所有的数学知识都可以被撬动;方法是一个连心锁，能够赋予学生数学活动的力量.

作为数学教师，只有站在高观点视角下运用数学方法来组织数学课堂教学，才能将复杂的、抽象的数学教学内容以一种生动的、直观的形象呈现在学生面前. 只有站在方法的制高点上，才能有效地驾驭数学教学，从而达到举一反三的高效教学目的.

嵌入“高观点”知识，丰盈初中数学教学内容

初中数学教材中的几何、函数、概率等内容在高中数学乃至于高等数学教学中同样会出现. 当然，其中知识的深浅、难易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教师，在初中数学教学中，可以相机嵌入一些“高观点”数学知识，丰盈初中数学教学内容. 高观点知识，能够统领初等数学知识，能激发学生的好奇心、求知欲，从而能够改变学生被动学习、机械模仿的学习样态.

比如教学“一次函数”“反比例函数”“二次函数”等知识内容时，教师可以渗透函数发展史的知识. 通过函数发展史，让学生明晰函数概念诞生的来龙去脉，从而洞察函数的本质. 应该说，函数思想史是一种高观点知识，因为其中涉及学生还没有学习的导数、微积分等知识. 但对函数发展史、函数知识背景的认知，能让学生体认到函数知识的文化价值. 函数源于力学的应用诉求，其中涉及了行星运行轨道的原理等知识. 当微积分建立的时候，还没有采用函数的概念，牛顿运用的是“流量”，莱布尼兹首次使用“函数”的概念表示幂. 在微积分经历了两百多年的锤炼、变革后，逐步形成了函数的概念. 这样的高观点知识的嵌入，不仅让学生了解了函数的发展史，还让学生认识到，初中函数的学习是非常重要的，许多高等数学知识的学习都必须运用函数知识，从而增强了学生学习函数的自觉性、能动性. 这种嵌入高观点知识的教学，改变了教师以往仅限于初等知识层面实施教学的机械模式，彰显了数学知识的连续性、学生数学学习的连续性的法则. 当然，在这个过程中，教师不能揠苗助长，拔高知识教学要求，而是可以通过适当的方式让学生了解，从而起到开阔学生数学视野的作用. 高观点知识的适度嵌入，提高了数学课堂教学效率.

融入“高观点”思维，简化初中数学解题思路

“高”者，超出常态也. “高观点”视角下的数学教学，比如融入高观点思维，能简化初中数学问题解决思路. 高观点思维，能让初中数学教学深入浅出，将最为复杂的知识用浅显的、明白的方式表征出来.

比如对于这样的问题——“满足‘SSA的两个钝角三角形全等吗”，有教师认为，这个判断需要具体地分清楚这个三角形是怎样的三角形，如果两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，那么就可以判定两个三角形全等. 其实，如果我们从高观点思维看，通过正弦定理就会发现，当两个三角形都是钝角三角形，并且只有当“两个钝角三角形中的两个钝角相等，并且两个钝角所对边以及另一个对边也相等时，这两个钝角三角形才会全等”. 而更一般的表述是：三角形中的两组边以及两组边中的较大的边所对的角相等，这两个三角形才会全等. 作为教师，可以通过高中数学知识，将这一过程详细地证明. 在初中数学教学中，教师可以通过引导学生画图探究的方式，催生学生的数学思考，提升学生的数学认知. 正如德国著名数学教育家克莱因所说：“理解初等数学知识，只有采用高观点思维，事情才会变得简单而明了. ”

“高观点”视角下的初中数学教学，要站在学科知识结构与学生认知结构相关联的视角，渗透思想、植入方法、嵌入知识、融入思维. 从而能够让初中数学教学实现知识与思想的统一，文化与精神的和谐. 如此，学生的数学学习一定会呈现出勃勃生机和新的景象.