浅谈初中数学中方程思想的几种应用

周庆灵

摘要：方程思想是一种重要的数学思想.用方程的思想去解题是初中数学一种常用的解题方法.本文通过典型例题解析了方程思想方法的三种应用，即方程思想在计算、几何、函数中的应用.

关键词：初中数学;方程思想;应用

1 方程思想

解析几何的创立者Rene Descartes 曾经这样说过：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题都将迎刃而解.”尽管这种观点有夸大，但也从侧面反映了方程思想在数学学习中的重要性.

方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，建立方程（组），或者构造方程（组），通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题得以解决[1].而其中最核心步骤就是找等量关系[2].然而如何运用方程思想解决数学学习、教学、现实应用中的问题呢？关键就是设法将问题抽象或转化为方程模型进行讨论和分析.这正是“力图改变思路（try a switch）”启发自己思考的“元启发（meta-heurist-ics）”策略[3].

2 方程思想在初中数学中的应用

方程是代数最基本的内容之一.它研究事物间的等量关系，并为人们提供由已知量推求未知量的重要方法，在数学各分支及其他许多学科都有广泛的应用[4]. 而方程思想是初中数学中一种基本的思想方法.初中阶段我们陆续学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程，从中感受到了方程思想在解决实际问题当中的重要性以及优越性.并且在利用方程思想解决实际问题时，可以将繁琐的问题简单化，特殊的问题一般化.

2.1方程思想在计算问题中的应用

方程思想是初中代数中最重要的数学思想，它贯穿于整个初中代数的始终.如在某些计算题中可以利用方程思想通过设未知数进行整体代换来简化计算.

例1.阅读下列材料，并用相关的思想方法解题.

计算：.

解：设，

则原式.

（1）计算：

解：设，

则原式

解方程：.

解：设，则原方程化为，即.

解得：.

当时，解得;

当时，，即.

，此方程无解.

综上：原方程的解为：.

评注：第一问是利用整体代换思想构建含有未知数的代数式求解;第二问是利用整体代换思想将四次方程转化为一元二次方程求解.

2.2方程思想在几何问题中的应用

通过设未知数，列方程（组），将几何问题转化为代数问题，这是解决几何问题的一种非常重要的方法.现举例说明如下.

例2. 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度数.

解∵AB=AC，BD=BC=AD（已知）

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）

设∠A=x°，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x°

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°在△ABC中， 根据三角形内角和定理有x+2x+2x=180 解得x=36 ∴∠A=36°.

评注： 本道题的求解过程中，充分利用了等腰三角形性质定理以及三角形内角和定理，最后通过设未知数，列一元一次方程，求出角的度数.

2.3方程思想在函数问题中的应用

方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题。同样，方程思想在函数中也有着相当广泛的应用。

例3.如图2，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方

表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程;

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标

不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

解：（1）在中，

令，

得.

由实际意义和题设条件知.

所以，当且仅当k=1时取等号.

所以炮的最大射程是10千米.

（2）因为a>0时，所以炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于k的方程

有正根.

由得a≤6.

此时，（不考虑另一根）.

所以当不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

评注：第一问是利用函数构建方程，求出横坐标;第二问是利用一元二次方程根的判别式求最大值.

3 结束语

通过对方程思想定义的理解，分析了其在初中数学中的三种应用，展现了方程思想在解决问题过程中的重要性.借助例题，具体的表达了怎样将方程思想中蕴含的特征性质灵活的运用在问题之中.同时，也反映了在初中数学的学习中方程思想应用的普遍性.

參考文献

[1] 陈婷，刘玉胜，李曼生.函数与方程思想在中学数学中的运用[J].数学教学研究，2011，30（12）：

62-64.

[2] 吴增生.方程思想[J].中学数学教学参考，2012，（3）：49-52.

[3] Sternberg R J，Davidson J E.The Nature of Insight[M].Cambridge，M A：The M IT Press，1995：328-364.

[4] 李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995：186.