本征正交分解在发动机缸内流场拟序结构研究中的应用*

秦文瑾，齐观超，汪 涛，周 磊，贾 明，解茂昭

（1.上海理工大学机械工程学院，上海 200093； 2.天津大学，内燃机燃烧学国家重点实验室，天津 300072；3.大连理工大学能源与动力学院，大连 116024）

前言

发动机工作时，缸内存在复杂的物理化学现象，相互之间强烈耦合。所有过程的发生均依托于缸内湍流场，可见对缸内湍流场的科学认识是正确理解其他物理化学现象的前提。湍流场内分布着各种不同尺度的涡团结构，其中大尺度涡团更多地受到宏观整体流动环境的影响，而最小尺度涡团则在Kolmogorov尺度被耗散掉。各种尺度涡团通过经历生成、发展、破碎和再生等过程，对瞬态流场施加影响。众所周知，大尺度涡团往往携带着大部分的流场湍动能，这些涡团又可被称之为拟序结构，它们在湍动能的产生和输运过程中产生关键性的作用。然而到目前为止，研究者们还没有对拟序结构给出明确的定义，只是将其描述为在时间性上具有准周期属性，在空间上具有一定形态的流体组织结构。

近来，先进的光学诊断技术，如粒子图形测速技术，先进的数值模拟技术，如大涡模拟，均得到快速发展，并成为研究湍流拟序结构的强有力工具。例如，可以通过使用这些工具记录和再现瞬态流场信息，并形成完整的流场数据库，为下一步的湍流场拟序结构特性研究提供数据支持。为实现从湍流背景中有效地识别和提取拟序结构，非线性数学方法的使用成了必要环节。

Lumley将本征正交分解（proper orthogonal decomposition，POD）引入到湍流研究领域，为人们提供了一种有效的数学分析手段和思路［1］。该方法可以将无穷维的非线性系统进行降维近似，对湍流场而言，POD可将瞬态速度场表示为一组POD模态的线性组合，模态反映着原瞬态流场空间内不同结构信息，并且相互之间线性无关，线性组合中各个模态对应的系数则反映着流场在时间演变上的信息。该方法的引入，极大地促进了湍流研究的发展。例如，POD方法可有效区别和分离不同的含能涡团结构，这为研究拟序结构提供了有效的手段。近来一些研究者应用该方法研究了发动机缸内流场，例如分离和重构了缸内矢量场（速度场）和标量场（温度场、浓度场）。Raposo使用PIV手段测量了缸内流场，然后使用POD方法对测量数据加以处理分析［2］。Cosadia采用POD方法分析了缸内流场循环变动的特性［3］。Fogleman则使用POD方法研究了内滚流场破碎过程中湍流动态特性［4］。Haworth使用POD方法对一台简化的发动机缸内流场大涡模拟数据进行处理，分别研究了滚流和涡流的循环变动情况［5］。陈豪对实验测量的200个循环流场数据进行了POD分析，针对所选数据有无进行相平均操作以及不同周期集合的选择对POD分析结果产生的影响展开了讨论［6］。秦文瑾提出POD 4分解方法，将瞬态湍流场分解为平均流场、拟序流场、过渡流场和湍流流场，并研究了4个分流场的循环变动情况［7］。李卫分别采用了相依赖POD方法和相不变POD方法研究了发动机缸内流场特性［8］。

本文中在前人研究的基础上，尝试将POD方法和Q准则方法进行结合，以用于发动机缸内湍流场拟序结构的研究中。通过对大涡模拟计算得到的缸内瞬态流场数据库进行处理，来获得缸内三维流场拟序结构特性，进而丰富人们对发动机缸内湍流场特性的认识。

1 本征正交分解

本征正交分解（POD）方法可以将瞬态流场分解为一组与空间信息相关的模态和一组反映时间信息的系数之间的线性组合：

式中：ΨPOD（xn）为 POD模态；a（t）为 POD模态对应的时间系数。每个POD模态之间相互正交，原瞬态流场经POD分解后，大部分流场能量可被少数低阶模态捕获，从而为提取大尺度含能涡团成为可能，但对于空间采样点较多的流场应用问题而言，经典POD方法计算成本较高。Sirovich提出的“快照”POD方法里［9］，速度场相关张量计算没有采用空间采样点数据的内积，而是采用不同时间采样点数据内积得到，进而有效地提高了经典POD方法的计算效率。速度相关张量计算如下：

式中：Nx为空间采样点数目；下标i和j分别代表不同采样时刻。POD模态可通过将速度相关张量的特征向量与原始瞬态流场的内积获得，如下式所示：

式中矩阵A由速度相关张量R的特征向量构成。

每个POD模态均与速度相关张量的特征值和特征向量一一对应，且每个POD模态捕获的流场能量大小等于其对应的特征值幅值大小的一半。通过分析特征值幅值分布情况，即可获得各POD模态所捕获的瞬态流场能量分布特性。这样，通过使用POD方法，不仅可以获得瞬态湍流场不同尺度涡团空间结构特征，还能够分析其能量分布特点。另外通过对POD时间系数的分析还能够获得其他流场信息，如循环变动的信息等。

2 数值计算介绍

大涡模拟方法采用空间过滤手段将瞬态流场信息分解为大尺度量和小尺度量，即亚网格尺度量。流场大尺度量可以直接通过数值模拟获得，小尺度量则需要模型化来求解。采用较精细的网格，大涡模拟方法可以获得比雷诺平均方法更加精确的模拟结果。对于流场分析而言，采用大涡模拟将有利于获得更多流场细节。对于大涡模拟方法，亚网格应力可以通过几种途径获得，例如通过采用代数方式建模，或通过采用输运方程方式建模。本文中采用动态结构模型来求解亚网格应力。该模型没有采用各向同性涡黏假设，即求解过程不涉及亚网格涡黏系数的求解，模型中亚网格应力被表示为亚网格湍动能和对应的系数张量的函数。该模型详细信息可见文献［10］。

为研究缸内流场拟序结构特性，对一台四气门单缸光学发动机进行了大涡模拟，完成了连续100个周期的冷态流场计算。几何建模、计算初始条件和边界条件均与实验保持一致，实验详见文献［11］，发动机参数见表1。计算采用有限体积法，对流项2阶中心差分格式，变时间步长，最小网格精度为0.5 mm，真实气体Redlich-Kwong状态方程，标准壁面函数，并通过PISO算法求解该非稳态问题。在本文的表述中，0°CA规定为进气冲程上止点时刻。

表1 发动机参数

3 结果与讨论

在后台阶流或近壁面等基础湍流流动模拟环节中，大涡模拟方法常常伴随着采用高精度网格和高阶离散格式，以便降低模型误差和数值耗散误差对模拟结果带来的影响，特别是对微观小尺度随机湍流脉动的影响。Pope指出由高质量的大涡模拟所获得的可解尺度湍动能应达到90%以上［12］，此时的大涡模拟可称为“科学大涡模拟”。然而高精度的网格和数值离散格式对工程应用，特别是内燃机这种复杂几何动边界条件以及各项异性高瞬态多循环工作流场而言，并不实用。为了平衡计算效率和计算精度，计算常常采用低精度网格和低阶离散格式，此时的大涡模拟又可被称为“工程大涡模拟”［13］。故在本研究的大涡模拟计算环节，采用了较为稀疏的网格精度（最小网格尺寸为0.5 mm）和低阶数值离散格式（2阶中心差分格式）。

首先对大涡模拟计算得到的缸内垂直对称平面滚流场与PIV测量结果进行了对比，由于缸内流场存在循环变动现象，单独对比瞬态流场没有实际意义，故首先将模拟和测量各自得到的100个连续流场进行相平均操作，然后进行比对，结果如图1和图2所示，线框表示PIV测量窗口范围。通过观察可以发现，在早期进气冲程阶段，进气射流强烈，其主导着缸内整体流动形态，伴随着活塞的下行，进气射流强度持续下降，缸内整体流动形态也从进气射流演化为大尺度滚流，该大尺度流动特征一直延续到压缩冲程阶段。模拟结果和实验结果对比良好，说明本文中采用的动态结构大涡模拟模型可比较真实地再现发动机缸内流场。由于缸内流场是三维高度非定常湍流场，其中既包含着大尺度涡团运动，还包含着随机分布的小尺度涡团运动，故二维流场不能全面反映发动机缸内流场信息，特别是对于拟序结构的特征信息。故以下工作将针对三维模拟结果展开，以期获得较为全面合理的缸内流场特征。

本文中采用Q准则完成缸内涡团结构识别工作。Q准则基于速度梯度张量不变量原则，标量Q的定义如下：

图1 大涡模拟计算得到的缸内对称面滚流场

图2 PIV测量得到的缸内对称面滚流场

式中：Ωij为速度梯度张量非对称部分；Sij为速度梯度张量对称部分。它们分别代表着旋转率张量和非旋转应变率张量。当流场某处存在强烈涡团运动，该处的旋转率张量幅值将明显大于非旋转应变率张量幅值，即该处的标量Q值为正，且数值较大。据此，可根据标量Q值大小来显示流场涡团强度，且其等值面可以很好地展现涡团结构空间分布情况，故特别有利于识别大尺度拟序结构。

图3和图4展示了采用Q准则识别的缸内瞬态流场涡团结构和瞬态流场流线分布情况。在进气冲程阶段，通过两个进气门产生的进气射流相互干涉，然后产生较为复杂的滚流运动。进入气缸的高速气流和缸内原有气体之间形成强烈的相向剪切运动，进而促进大尺度涡团的产生。另外高速气流和壁面的相互作用也促进了大尺度涡团的产生。较小尺度的涡团则主要产生并分布在缸内中心区域。在进气冲程后期阶段，缸内涡团运动强度显著下降，大尺度涡团会被拉伸至破碎，进而产生数量众多的小涡团，此时流场各项异性程度减弱。在压缩冲程阶段，大尺度涡团持续变形和破碎，进而促进小尺度涡团不断产生，此时流场整体涡团强度变的更弱，且更加均质化。通过以上过程，可以发现缸内流场演变经历从进气冲程强烈的各项异性，经过流场涡团破碎强度衰减，在压缩冲程阶段逐渐趋于各向同性。

本文中将POD方法对大涡模拟缸内流场数据进行加工，以期获得更加详细的流场拟序结构信息。首先考察了POD方法的收敛特性。将不同数量“快照”流场（即不同周期流场）分别进行POD运算，若同样阶次的两组POD模态保持一致，则说明所选用的“快照”数量实现了收敛目的，再额外增加“快照”数量，对于理解流场特性并不会增加额外的信息。文中采用相关性系数和误差范式两个参数来量化两组不同模态空间信息差异性。在POD模态达到收敛的过程中，相关性系数应逐渐接近1，而误差范式则应逐渐接近0。

本文中安排了9组由不同“快照”数量构成的数据集合，9组集合分别包含20，30，…，100个“快照”数量，然后对每组集合分别进行POD运算。5个POD模态（模态 1，模态 3，模态 5，模态 7，模态 9）进行了收敛性参数计算，结果如图5所示。在所有POD模态里，模态1代表着流场平均流动状态，并携带着流场绝大部分能量，故该模态在较早阶段就实现了收敛。对于其他高阶模态（模态3-模态9）收敛速度则越来越慢。这表明对于获取高阶模态刻画的流场信息，需要使用更多数量的“快照”。通过观察相关性系数和误差范式的收敛趋势，可以发现在本次研究中使用90个“快照”即可实现各组模态收敛，即不必使用全部100个数量的“快照”。

图3 缸内拟序结构

图4 缸内速度场流线

图5 POD模态收敛情况

除了考察空间POD模态收敛情况，还可以考察POD模态含能收敛情况。在POD方法中，特征值大小可以反映POD模态含能分布情况。按照特征值幅值从大到小进行排列，所对应的模态1则携带着流场绝大部分能量，而其他模态含能数量则逐渐递减。本文中计算了不同数量“快照”流场进行POD运算后的特征值序列，并加以无量纲化。单独模态含能情况以及多个连续模态累计能量情况如图6所示。可以发现，模态1携带的能量最先达到收敛，其他高阶模态含能收敛速度则逐渐变慢，再次说明使用更多数量的“快照”有利于高阶模态刻画的流场信息获取。

图6 POD模态能量收敛情况

流场经过POD分解后，不同的含能流场结构可实现有效分离，即低阶模态反映大尺度含能高的流场结构，如整体流动或局部拟序结构等，而高阶模态则主要反映空间随机分布的小尺度涡团结构。由于Q准则特别适用于三维流场涡团结构的识别，故本研究采用Q准则对缸内三维流场POD分解后得到的不同模态进行涡团识别，从而可以比较直观地刻画不同POD模态所反映的流场含能结构三维空间分布。图7～图9是使用Q准则识别的6个不同POD模态（模态1，模态2，模态3，模态4，模态50，模态90）内涡团空间分布情况。为方便不同冲程阶段内涡团空间分布对比，在3个不同曲轴转角时刻，标量Q分别取值为2，0.3和0.2（数值越大表明涡团强度越高）。进气冲程阶段强烈的进气射流主导着缸内滚流运动，而高速气体相向剪切运动则促进小涡团的随机产生。通过观察，可以发现此时模态1中的标量Q主要刻画了进气射流运动情况下的涡团形态。这些涡团主要分布在进气门气道附近处，并携带着流场绝大部分能量，在之后的流场演变过程中，这些涡团将会变形并输运到缸内，逐渐演变成大尺度拟序结构。模态2中的标量Q刻画了缸内流场整体滚流运动情况下的涡团形态，这部分涡团会伴随着滚流运动实现空间分布的演变。模态3、模态4中的标量Q刻画了一些较大尺度的拟序结构，其主要分布在气门下方缸体中央区域，这部分涡团结构对缸内流场湍动能的维持起到了重要的作用。正是由于通过拟序结构的形成、变形和破裂，缸内流场实现了能量级联。而其他高阶模态下的标量Q则主要刻画小尺度随机涡团结构，从图中也可以发现，模态越高其刻画的小尺度涡团越具有随机性，其空间结构分布越来越均匀，即呈现各项同性的特点，这部分涡团在湍流黏性的作用下被逐渐耗散掉。在进气冲程后期，进气射流强度降低，缸内流场整体流动强度同步减弱。越来越多的大尺度拟序结构被拉伸并破碎成更多较小尺度涡团，流场能量则从大尺度含能涡团传递到小尺度涡团内。通过观察，可以发现，此时在POD模态1中的标量Q不再主要刻画进气射流中的涡团结构，而是刻画整体滚流运动情况下的涡团形态，与早期的整体滚流运动下的涡团形态相比，此时这部分涡团强度和数量呈现明显降低。模态2～模态4中的标量Q则刻画的是较大尺度拟序结构，同样，其他高阶模态中的Q则依然刻画小尺度涡团。在压缩冲程阶段，进气射流影响消失，流场整体运动形态削弱，能量级联现象依然在涡团不断破裂的过程中发生。大量随机小涡团不断产生，并分布在缸内整个空间，流场逐渐趋于各向同性。此时模态1中的标量Q依然刻画整体滚流运动中的涡团结构，模态2中的标量Q刻画随机分布的拟序结构，其他高阶模态中的标量Q刻画尺度逐渐减小的涡团结构。通过以上分析可知，采用Q准则对本征正交分解后的POD模态进行加工，可以很好地识别不同含能结构内的涡团，以便研究者观察和分析这些涡团的空间形态分布和演变情况。

图 7 90°CA ATDC（Q=2）

图 8 180°CA ATDC（Q=0.3）

图 9 270°CA ATDC（Q=0.2）

4 结论

本文中主要研究缸内流场拟序结构特性，通过对一台四气门单缸光学发动机进行了大涡模拟冷态流场计算，计算结果通过PIV实验验证。采用Q准则方法来识别缸内包括拟序结构在内的不同尺度流场涡团结构。随后采用本征正交分解方法对模拟得到的缸内流场数据库进行深加工，主要结论如下。

（1）进气冲程阶段，进气射流强烈，其主导着缸内整体流动形态，缸内滚流运动形态形成，流场速度可达10 m/s。高速射流气体与缸内原有气体相向剪切运动产生较大尺度涡团。在压缩冲程阶段，涡团强度减弱，大尺度不断破碎成小尺度涡团，流场速度下降到5 m/s以下。能量级联现象在该过程中发生，流场逐渐趋于各向同性。

（2）对于POD操作，虽然较多数量的流场“快照”有利于分析高阶POD模态反映的流场信息，但“快照”数量达到一定程度后，额外增加流场“快照”并不能有效地提供更多流场信息，如本研究中采用90个“快照”即可很好地描述所有100个“快照”全部信息。

（3）POD模态和Q准则的结合使用，可以很好地识别和刻画不同含能尺度下的缸内流场结构，低阶模态（模态1-模态4）主要识别整体流动状态和大尺度拟序结构，而高阶模态则（模态50-模态90）主要识别缸内随机分布的小尺度涡团结构。