2019年高考数学Ⅱ卷试题分析及教学建议

李晓群 鲁岩 孟繁晶

摘 要：本文对2019年高考数学Ⅱ卷试题进行分析，阐述了试题具有聚焦主干知识，突出核心素养;联系社会热点，强调数学应用;考查数学思维，选拔功能明显;增强文化渗透，体现立德树人的四大特点.另外给出了两点教学建议.

关键词：试题特点;解答题分析;教学建议

作者简介：李晓群（1977-），女，黑龙江人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学;

鲁岩（1972-），女，黑龙江人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学;

孟繁晶（1976-），女，黑龙江人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学.

1 试题分析

2019年高考数学试题的命题依据是《考试大纲》和《数学课程标准》，聚焦学科主干的内容，突显了关键能力和数学素养的考查，重视数学应用价值，关注创新意识培养，渗透数学文化知识.试题着重考查主干知识、基本能力、核心素養，体现了重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想.2019年理科试卷总体结构变化很大，试题难度也比2018年明显加大，主观题在各部分的内容布局和考查难度上进行了较大的改变，打破了过去导数压轴题的惯例，以解析几何作为压轴大题.这在一定程度上考查了考生的心理素质、灵活应变能力和积极调整适应的能力.2019年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正地落实了“立德树人”的根本任务.

从文理考题差异来看，2018年感觉就是近在咫尺，而2019年却远在天涯，文理考题差异渐行渐远，若即若离.2019年填空选择文理考题只有6道题完全相同.解答题除了立体几何第一问和选做题以外均与理科不同，这与2018年高考题的导向完全不同.但是试题整体难度远低于理科.2017-2019年文理科考点见表1：

2 2019年全国Ⅱ卷理科试题特点

2.1 聚焦主干知识，突出核心素养

2019年数学高考试卷注重对高中基础内容的全面考查.三视图与2018年一样仍然没有考查，2019年算法没有考查，理科线性规划没有考查，这与新课标的导向一致.过去的三年连续在小题中对异面直线成角的考查，今年的试题中没有出现.排列组合二项式定理今年也都没有考查.填空压轴题为立体几何而且两个问题，这是之前高考题没有尝试过的新考法.

在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求.理科Ⅱ卷客观题除了第4小题的情境问题让学生感觉略显慌张以外，其余试题比较常规.在解答题中重点考查了函数与导数、概率、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容.解答题题目顺序调整之大史无前例！正如我校在考前16天所做的考前指导里说的那样，2019年数学考题会有翻天覆地的变化，当初猜测的就是题目顺序的变化.看到试卷之后才真正明白了翻天覆地的含义！

理科第17题为立体几何大题，属于非常基础的问题，长方体为问题背景，没有以往复杂的证明和艰难的计算，而且第二问回避了二面角锐角或是钝角的判断.

理科第19题是数列问题，虽然不是专家们预测的三角函数大题，但是题目很简单，对学生来说较为轻松，需要注意的是第一问作答时，首项和公差、公比的描述.打破了近五年三角函数和数列交替出题的惯例，而且题目位置由第一道大题调到了第三道大题.

选做第22题极坐标参数方程考查的是极坐标的知识，对学生来说问题有两点：（1）没有直角坐标系，如果第一问用直角坐标转化是否需要叙述建系过程？（2）第二问的完备性仍然是学生的难点问题，这与近三年极坐标的考查方向是一致的，学生会却难得满分.

选做第23题不等式选讲，这道题和以往考查方向不同，这是一个二次的分段函数.虽然第一问难度不大，但是这道题中涉及的二次的问题是学生平时见得较少的（17年全国Ⅲ卷曾经考过），包括第二问，无论是分段研究解不等式还是图象突破都需要学生严谨的思维和计算能力.这与一直以来，考查关于一次绝对值不等式的解集、参数范围或证明问题差别较大.相同之处是分类讨论的解题思想.

2.2 联系社会热点，强调数学应用

2019年的数学高考试题，注重了与国家社会经济的发展、科学技术的进步和生产生活实际紧密的联系起来，通过创设真实的问题情境，着重考查了考生灵活运用高中数学知识分析和解决应用问题的能力.如今年高考理科Ⅱ卷客观题的第13题，以我国高铁列车的发展为问题背景、文科Ⅱ卷主观题第5题以 “一带一路”知识测验为问题情境设计题目，实则考查了学生逻辑推理的能力;理科Ⅱ卷主观题第4题联系“嫦娥”四号的技术突破，考查了学生估算的能力，反映我国航空航天事业所取得的突出成就.这些试题充分发挥了思想教育的功能，体现了 “立德树人”的教育宗旨.这些真实情境来源于不同的领域，贴近生活中的实际问题，体现了数学应用的价值，有利于激发学生学习数学的兴趣，提高对数学应用价值的认知，提升数学核心素养，对中学的素质教育有很好的促进作用.

理科第18题引入国人引以为傲的乒乓球运动，以比赛结果的预估提出问题，要求考生应用数学知识方法来分析、解决体育问题.体现了数学应用的价值.2017年、2018年均考查的是统计大题，今年理科试题的两问均为概率，在学生对题目进行充分的理解后作答应该不会困难，但是过程书写、阅卷的要求不清楚，如果按照教材中给出的书写要求，学生恐怕不容易得满分.

2.3 考查数学思维，选拔功能明显

2019年的数学考题与之前三年的考题比较，强化思维，有效区分不同思维层次的考生.今年试题非常侧重对逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力的考查.命题从知识立意到能力立意，再从能力立意发展到学科素养立意，目的就是以数学知识为载体，培养学生的理性思维和数学精神，考查考生理性思维的广度和深度，满足了高校对人才选拔的需求.

理科第20题导数，两问均为证明问题，考查形式变化较大.以往的导数大题会有一大部分学生因为难度较大或没时间作答而选择舍弃，今年的这道题无论从思维还是运算难度都比较合理，属于比较常规的典型问题.但对于第一问的定义域和零点存在的叙述也不容易拿到满分.第二问函数公切线的问题曾在2016年全国Ⅱ卷填空压轴题出现过，属于比较程序化的解题思路.

理科第21题以解析几何压轴出现，相当于三个问题.第一问比较常规，题目原型是教材的课后习题，但是完备性的问题需要特别注意;第二问借助于二级结论（需要证明）解决能相对容易一些.注意代数和几何条件的转化，最值求解方法比较开放.但无论思维考查还是运算量都需要学生过硬的基本功，有很好的选拔功能.对于“新课标”所提到的圆锥曲线整体要求有所下降似乎没有任何导向作用！

2.4 增强文化渗透，体现立德树人

中华民族有着悠久的历史和文化积淀，它是我们民族的根基和灵魂，也是立德树人、繁衍发展的文化血液，蕴含着强大感召力.2019年高考数学试题把其中的精华引入到了考试内容中，既刻上了中华文化的烙印，又有东方数学文化的风韵，发挥如沐春风、润物无声的作用.文、理科Ⅱ卷客观题第16题融合了中国悠久的金石文化，赋以几何体以真实的问题背景，考查了学生的空间图形的转化能力和空间想象能力，引导学生关注数学文化，发现几何之美.

其实，数学之美无处不在.数学之美体现在：简洁的语言、精巧的构造、严谨的结构、代数的优雅、几何的神韵、清澈的理性等多方面.

3 教学建议

3.1 创造真实的问题情境，通过问题驱动系统实现学生思维能力的提升

今年的高考题无论是嫦娥四号、金石文化的印信、一带一路还是中国高铁等问题，学生之所以慌张，主要原因是平时像这样在真实的情境下解决问题的机会太少了.我们更多见到的是一个单刀直入的数学问题，那么在生活实践中哪里会有这样的问题：这个函数的表达式是什么？最值又是多少？而这样的问题背景实际是一个决策问题，整个过程是一个数学建模的过程.说到这里可能老师在想，平时的考题中一定要多多加入这样实际问题情境的问题，我想这样的训练仅在考试中加强还是远远不够的，要把这样的應用意识渗透到每一节课，就像我们学校正在实行的国家课程校本化所倡导的那样，每一节课不是讲知识和做训练，而是让学生在真实的问题情境下发现问题、提出问题、分析并解决问题.只有关注学生思维的成长，才能让我们的课堂走向“启迪智慧、点化生命”的高度.

所谓创设问题情境，实际上是把数学问题隐藏在一个问题情境之中，或者是将数学问题引伸到实际问题中，从而引发认知冲突，点燃学生思维的火花.所以，在平时的教学活动中教师应创设真实问题情境，建立问题驱动系统，以问题驱动为主线，通过真实问题情境的创设来调动学生的学习热情和思维的积极参与，使学生能听言，入境，带领学生以积极愉悦的心态去主动探索，善于研究.

囿于传统教学的思维定式，我们早已经习惯用单纯的数学知识来解决单纯的数学问题.要让数学问题发挥它真正的研究和应用价值，对传统的教学方式的挑战，也是我们必须要逾越的第一道障碍.唯有教师自身有坚定的改革信心并具备了扎实的课程研究能力，并对数学教学初心不改，始终以敬畏、好奇的研究精神发掘生活中有意义的教学素材，数学教学才能真正跳出唯知识、方法论的狭隘层面，从而才能使数学核心素养落地生根，并走向培养学生高阶思维的教学！

问题驱动教学提倡教师引导学生经历完整的问题解决过程，在整个过程中，教师应特别关注学生的活动体验、独立钻研和学生之间的互动交流，自觉地运用所学知识和数学思维方式去观察、发现、提出、分析和解决问题.借助合理科学的问题情境载体，真正实现“为数学的核心素养而教”“为学生的可持续发展而教”的目的.2019年数学高考题为我们指引了方向并坚定了信心.

3.2 重视细节的教学，养成良好的学习习惯

2019年的高考题选拔功能明显，对于一些同学来说，想得到一个满意的分数就需要做到“会的全对”，步骤上“无懈可击”.所以，在日常教学中教师应该要求学生做到规范做答，并努力作到“会则对，对则满”，引导学生注意怎样书写才能不丢分，如何去争取步骤分.一定强调良好书写习惯的重要性，训练重点要落在速度快、表达全、计算准三个方面.考试的时间紧，复习时特别强调要有速度意识，加强速度训练，不断提醒学生，对于有些题，用时过多，步骤书写废话太多，即使此题做对了，其实也是“潜在丢分”.一定不要“小题大做”.

数学高考试题历来重视运算能力的考查，运算要熟练、准确，运算要简捷、迅速.事实证明，在以中低档难度为主体的试题测试中，考生想获得正确的思路一般来说比较容易，如何规范而准确地表达就变得相当重要了，所以，要求考生一定要将解答过程书写得结构完整、层次分明.具体建议有如下四点：

（1）课堂上培养学生认真审题的习惯（特别是应用问题），通过反复认真的读题、标记关键词语，将问题用自己的语言重新表述、对数学语言进行再加工，进而努力寻找解题突破口;

（2）课堂上善于将典型问题的解题过程程序化.通过对问题的典型性、层次性、综合性进行分析，寻找解决问题的捷径.例如：看到有根号时，常想到平方、有理化、两点间距离公式等.遇到求取值范围和最值问题时，通常想到一个变量函数思想和两个变量的不等式思想;

（3）课堂上培养学生“说”解题的思维过程，“听懂了却不会做”类似于这样的问题是学生身上普遍存在的问题，其实究其原因是学生没有真正学会思考，把数学学习当成简单记忆.所以解题时教师一定要追问：本题要怎样想，为什么要这样想？特别是清晰如何做，怎么想到要这么做，还可以怎样做？等等.

（4）课堂上规范和培养学生计算和用草纸的习惯，在讲解解答题时规范每一步的解题步骤，强调易丢分的步骤，必要时教师一定要板演打样.

例如：数列中的n≥2;三角中的A∈（0，π）;证明等差、等比时要说明首项及公差公比;概率过程的书写等.

总结起来：解题方法多样化、格式书写规范化、重要结论工具化、解后思路程序化.

总之，2019年数学试卷反馈给我们的信息就是：回归课本，发展学生的基本数学思维，注重数学思维的培养.考生除了需要吃透课本、抓实基础、注意通性通法以外，还需要强大的心理来应对情境问题和突如其来的变化.

教师要特别重视数学阅读、表达、数学应用、逻辑推理等关键能力的培养，特别关注运用数学方法解决应用问题的教学.注重带领学生经历数学知识的生成，以及问题的发现、提出、分析和解决的完整过程，充分挖掘数学问题的迁移功能和内在价值，提升学生思维的延展性与创新性及应用性.为培养出更多的具有生命活力、研究潜力、创新能力和报国实力的未来栋梁，我们一线教师是时候该行动起来啦！

（收稿日期：2019-06-25）