柱面坐标计算三重积分的教学建议

张化朋

【摘 要】利用柱面坐标可以很方便地计算某些三重积分，但是这些积分也可以结合三重积分的直角坐标法与二重积分的极坐标法来计算。因此，从节省课时和减轻学生负担的角度来说，教师不必在教学中介绍利用柱面坐标计算三重积分这仲方法。

【关键词】三重积分；柱面坐标；教学建议

【Abstract】It is very convenient to calculate some triple integrals via cylindrical coordinates， but these triple integrals can be also calculated by combining rectangular coordinates with polar coordinates. Therefore，from the perspective of saving class hours and relieving studentsburden，it is not needed to introduce the method of calculating triple integral via cylindrical coordinates while teaching.

【Key words】Triple integral；Cylindrical coordinates；Teaching suggestion

高等数学是高等院校理工科专业必修的且最重要的基础课程之一，也是培养学生能力和提高学生素质的一门重要学科。它不但为学生学习后续数学课、专业基础课以及专业课提供必要的数学知识和方法，而且更重要的是通过高等数学学习来训练学生的数学思维能力，提高学生的数学修养，为从事所学专业工作和进行深入的科学研究打下坚实的数学基础。

但是，随着高等教育大众化的进一步深入，学生的整体素质呈现不断下降的趋势，尤其是学生的数学水平参差不齐，再加上个人对数学学习兴趣的差异以及学风的日益不佳，导致了大量的学生考试成绩不及格。

另一方面，各大高校都热衷于增加大量的综合素质课程，从而导致了高等数学课程课时的不断压缩，但是教学内容并未减少。这样就更加剧了学生学习高等数学的难度。因此，在日常的教学中，教师应当尽量减少可以减少的教学内容。

重积分的计算是高等数学学习中的难点之一。重积分一般包括二重积分和三重积分。二重积分的常用计算方法有直角坐标法和极坐标法。直角坐标法适合积分区域为X-型的或者Y-型的，它将一个二重积分转化为先对y后对x或者先对x后对y的两次定积分。极坐标法适合积分区域与圆有关的二重积分，它将一个二重积分转化为先对极径后对极角的两次定积分。

计算三重积分的常用方法有直角坐标法、柱面坐标法和球面坐标法（参见文献[1-2]）。根据积分区域的特点选择合适的坐标法是计算三重积分的关键。球面坐标法适合积分区域与球面有关的三重积分。直角坐标法把三重积分转化为先定积分后二重积分（又叫“先一后二”法、投影法）或先二重积分后定积分（又叫“先二后一”法、截面法）。无论是投影法还是截面法，都要计算一个二重积分，而柱面坐标法的本质是将其中的二重积分用极坐标来计算。

上式显然与直接用极坐标计算对x，y的二重积分得到的形式一样。

从上面的两个例子可以看出，只要学生掌握了三重积分的直角坐标法与二重积分的极坐标法，三重积分的柱面坐标法完全可以不必学习。因此，从节省课时和减轻学生负担的角度来说，教师不必在教学中介绍利用柱面坐标计算三重积分这仲方法。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]赵洪牛，万彩云，胡国雷，王友国.高等数学（下）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[责任编辑：田吉捷]