有限域上两类卷积码的构造
2019-09-23李凤伟孙晓明
李凤伟,孙晓明
(枣庄学院 数学与统计学院，山东 枣庄 277160)
0 引言
在编码器复杂度相同的情况下，卷积码的性能优于分组码，因此卷积码几乎被应用在所有无线通信的标准之中.近几年来，卷积码以及量子卷积码受到许多专家学者的注意，相继出现不少优秀的成果.Lee[1]阐述了存储级数等于1的卷积码的重要性，他指出相同比率的卷积码中，存储级数等于1的卷积码比存储级数大于1的卷积码具有更大的自由距离.Hole[2]与Rosenthal[3]利用BCH码分别构造了存储级数等于1的卷积码.通过Reed Solomon码和BCH码,H.Gluesing-Luerssen等研究了双循环卷积码[4].另一方面，对经典卷积码和它们相应属性的研究以及构造最大距离可分 (简称MDS)卷积码也在许多文献中提出.Gluesing-Luerssen等[5]给出了一类强MDS卷积码.最近，Guardia教授[7～10]根据Piret[6]提出的方法构造了MDS卷积码以及量子MDS卷积码并做了进一步的推广；熊茂盛教授[11]研究了存储级数为1的MDS卷积码的构造，同时得到了更多的强MDS卷积码.
1 相关知识
在这一节里，我们简单地介绍一下负循环码、duadic 码以及卷积码的基本知识和相关的概念.
1.1 负循环码和duadic码
wt(c)=|{j:cj≠0,0≤j≤n-1}|，
常循环码C的最小汉明距离d(C)定义为
d(C):=min{wt(c)|c∈C,c≠0}.
我们把码字c=(c0,c1,…,cn-1)写成多项式形式
c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈Fq[x]，
则C是λ-常循环码当且仅当C是环R=Fq[x]/(xn-λ)中的一个理想.由于R的每个理想都是主理想，所以存在首相系数为1的多项式g(x)∈Fq[x],g(x)|(xn-λ)，使得
C=(g(x))=g(x)R={a(x)g(x)∈R:a(x)∈R}，
这也就是说，λ-常循环码C和g(x)是一一对应的，我们称g(x)为λ-常循环码C的生成多项式，称h(x)=(xn-λ)/g(x)为λ-常循环码C的校验多项式.设β为Fq的某个扩域的一个n次本原单位根，称集合T={1≤i≤n-1:g(βi)=0}为C的定义集，βi称为C的根或零点.显然C由T唯一确定.
对于以g(x)为生成多项式的长度为n，维数为k的q元的常循环码C，g(x),xg(x),…xk-1g(x)构成C的一组Fq基.
设g(x)=g0+g1x+…+gn-kxn-k(gn-k=1)，则C的一个生成矩阵可以表示为
设C的校验多项式h(x)=h0+h1x+…+hk-1xk-1，则C的一个校验矩阵可以表示为
Duadic码是循环码中非常重要的一类，是二次剩余码的推广.Duadic码分为两种：even-like Duadic码与odd-like Duadic码.
引理1.1.1[12]:(BCH界)设C=(g(x))是长度为n的循环码，gcd(q,n)=1.设β为Fq的某个扩域的一个n次本原单位根，若对某一正整数l，g(x)的根为βl+i，i=1,2,…,d-1，其中d-1≤deg(g(x))，则码C的最小汉明距离至少是d.
引理1.1.2[12]:(singleton界)若存在参数为[n,k,d]的q元码C，其中1≤d≤n-1，则n≥k+d-1.若等号成立，称C为MDS码.
1.2 卷积码
定义 1.2.1比率为k/n参数为(n,k,γ;m,df)q的卷积码V是Fq[D]n的一个子模，它可由多项式矩阵G(D)生成，G(D)=(gij)∈Fq[D]k×n为一个基本不可约的矩阵，即
V={u(D)G(D):u(D)∈Fq[D]k},
在上面的定义中，元素v(D)=(v1(D),v2(D),…,vn(D))∈Fq[D]n的重量定义为
其中wt(vi(D))表示vi(D)的非零系数的个数.若考虑洛朗级数域Fq((D))，定义u(D)的重量为
wt(u(D))=∑i∈Zwt(ui(D)).
如果存在无穷汉明重量的u(D)k∈Fq((D))k，使得u(D)kG(D)的汉明重量有限，我们称生成矩阵G(D)为catastrophic.本文里，我们构造的卷积码都是noncatastrophic.
V⊥={u(D)∈Fq[D]n|
2 新的卷积码的构造
在这一节里，我们将利用代数的方法从循环duadic码和负循环duadic码来构造新的卷积码.首先我们给出一个引理.
(a) 矩阵G(D)是卷积码V的一个基本不可约的矩阵.
2.1 由循环duadic码构造新的卷积码
2.2 由负循环duadic码构造新的卷积码
引理 2.2.1[15]令s∈{1,2,…,2n-1}且(s,2n)=1.设q≡3(mod4)且n为oddlyeven，则存在多项式A(x),B(x)和置换
使得
xn+1=A(x)B(x)(x2+1)，
这里μs(A(x))=(B(x))，μs(B(x))=(A(x)).令
C1=<(x2+1)A(x)>，C2=<(x2+1)B(x)>，D1=
则C1,C2是一对even-like负循环duadic码，D1,D2一对odd-like负循环duadic码.
定理 2.2.2 设p,q为不同的奇素数且q≡3(mod4).令n=2pt，(n,q)=1.设r为q模n的乘法阶，如果2 证明：由[15,定理8]可知： x2pt+1=λA(x)A*(x)(x2+1)， 其中λ∈Fq，A(x)∈Fq[x]，A*(x)为A(x)的互反多项式.令 C1=<(x2+1)A(x)>，C2=<(x2+1)A*(x)>， D1=
