转化思想在立体几何解题中的应用探讨

杨原明

(江苏省西安交通大学苏州附属中学 215021)

利用转化思想来解决数学问题是最基本的解题思路.通过转化，可以将抽象的问题变得直观，将复杂的问题变得简单化，以此来达到解决问题的目的.立体几何是研究空间图形、画法和有关计算与应用的一门学科.是建立在平面几何知识内容的基础上研究的.从此可以看出，转化思想是立体几何中的基本思想.

一、简述转化思想

将一个问题转化为另一个问题即为转化思想，主要核心内容就是把未知化为已知，把繁琐的问题化为简单的，把抽象化为具体等等，利用这样转化的思想可以节约解题的时间，并且还大大地提高了正确率，最终将我们遇到的难解题目转化为简单易解的问题.

在高中的数学学习中，学生学习立体几何这一内容的时候，很多学生不能把立体和平面的图形区分开来，在解答立体几何空间图形的时候都会存在思维障碍，这就说明学生不能将空间图形具体化，也就是不能把抽象问题具体化，所以，在教学过程中，应该培养学生的转化思想，这样有利于学生更好地建立起转化的思想，也便于对抽象问题的解决.

二、概括立体几何中空间图形向平面图形转化的方法

高中课程学习立体几何，有直线与平面这部分内容，其中空间角的问题，比如，直线与直线所形成的角，直线与平面所形成的角，平面与平面所形成的角等等，在解决这类问题的时候，都可以用到转化的思想，将空间角转化为平面角，用平面内的角度来描述空间内角度的大小.根据线线、线面、面面垂直和平行的判定和性质定理，可以有效地解决这类问题.概括起来主要有三种类型，接下来主要探讨一下这三种类型.

1.空间角向平面角的转化

空间角即两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角以及二面角，空间角的计算一般分为，一作，二证，三算.二面角的计算可以使用射影面积公式来计算，但是大部分空间角的计算方法都是将其转化为平面角来计算的，充分挖掘图形的性质，寻求平行关系.例如，利用“中点”的性质，直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，只要将斜线上取一点向平面引一条垂线，以形成由平面的斜线、垂线以及斜线在平面上的射影组成的直角三角形.异面直线所成的角，教学中都是将空间的角转化为平面的角来刻画两异面直线的交叉程度的.异面的直线就是指不在同一个平面内的两条直线，但是，就只凭借说它们不在同一个平面来说明它们之间的关系是不够的，想要具体地描述出两条异面直线的关系，就必须要借助数学量来进行描述.在立体几何中，将空间角转化为平面角，用平面角的刻画两条异面直线所成的角.构成的锐角或直角就是异面直线所成的角.因此可以看出，想要解出两条异面直线所成的角，一般都是采用平移作出角图形的办法，然后再计算其大小.

例如：

直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线m∥a,n∥b,相交直线m，n所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角.

异面直线所成角的计算.

平移其中一条或两条使其相交；连接端点，使角在一个三角形中(或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中)；计算三条边长，用余弦定理计算余弦值；若余弦值为负，则取其相反数.可以看出，如果想要求异面直线所成的角，就必须先要转化为平面内的角，再通过平面的几何知识来求得角的大小.

2.空间距离向平面距离转化

在立体几何中，求解空间距离，即要转化成平面距离，比如异面直线之间的距离，直线与平面之间的距离，点到直线的距离等等.在求解的时候，可以将其先转化成线段，再求解线段的长度.例如

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．

(1)证明：AB1⊥BC1；

(2)求点B到平面AB1C1的距离.

建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，利用数量积证明垂直；

求出平面AB1C1的一个法向量，代入公式求点B到平面AB1C1的距离.

∴AB1⊥BC1.

(2)设n1=(x1,y1,z1)是平面AB1C1的一个法向量.

令z1=1,∴n1=(1,0,1).

例题主要求解点到面的距离.由此可以看出，在求解空间距离的时候，最主要的是要找到点到平面的垂足，而线面垂直和面面垂直的性质定理是找垂足的依据，空间距离的几何意思即就是转化思想，如将面面距离转化为点面距离、线面距离转化为点面距离，因此在求距离问题的时候，转化为求点面的距离是重点.

3.空间度量向平面度量转化

度量亦称距离函数，是度量空间中满足特定条件的特殊函数，一般用d表示.而在生活中空间度量是比较抽象的，平面度量则是比较直观的.同样，平面图形的面积也肯定比空间图形的面积好计算，比如生活中我们遇到的圆柱和圆锥等的侧面积，则是利用将其展开为平面图形再计算其面积的.

空间立体几何的学习贯穿整个高中学习过程.在以往的高考中，立体几何占有很大的分值，立体几何也是高中数学的主要内容，通过转化思想更好地学习解决立体几何问题，这对于提高学生的思维能力有很大帮助.想要熟练地运用转化思想解决立体几何问题，就需要将转化的思想完全理解.转化思想对于普遍学生来说都是比较容易接受和掌握的，因为它能将复杂的问题简单化，将模糊的逻辑清晰化，合理地将这些应用到解题思路中，对解决问题大有帮助.由此可以看出，利用转化思想来解决立体几何问题，这样会使问题简单很多，所以，一定要理解和掌握转化思想的真谛，以便为以后的学习打下扎实的基础.