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“直观想象”在解析几何中的几点体现

2019-09-10焦梓荣

广东教学报·教育综合 2019年59期
关键词:直观想象解析几何数形结合

焦梓荣

【摘要】“直观想象”是数学核心素养之一,它的培养主要体现在几何教学中。解析几何作为高中数学的重要内容,是体现数形结合思想方法的经典内容,是学生“直观想象”培养的重要内容,在教学中要注意四个方面的表现。

【关键词】直观想象;解析几何;数形结合

直观想象是数学核心素养之一,是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题,建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路,现阶段高中教材里与之相关的主要内容是立体几何与解析几何。

解析几何是高中数学中用代数的方法解决几何问题的经典内容,是数形结合的数学思想方法体现的重要内容,它包括:画图,对图形的观察,利用图形特征表述问题,利用图形特征理解问题,利用图形特征探究问题,建立直观的数学模型解决问题等;借助圆锥曲线图像掌握它们的基本性质,及其各个基本量、公式的几何意义;培养画图、用图思考和探寻简化运算的好习惯,是培养学生“直观想象”的核心内容之一。

以下就四个方面来谈谈“直观想象”在解析几何中的体现:

一、利用图形特征表述问题

圆锥曲线的定义是对其图形特征的核心表述,常用于解决与长度有关的求值和最值问题。

已知F1,F2是橢圆的左、右焦点,直线l过点F2与椭圆交于A、B两点,则△ABF1的周长为( )

A.10 B.12

C.16 D.3

解:由题意可得a=4,

由椭圆的定义可得:,

∴由图可知△ABF1的周长为:.故选:C.

点评:此题的关键是利用椭圆的定义,图像的特征可以表述为,是个数形结合的典型题目。

二、利用图形特征理解问题

圆锥曲线的图像是其性质的集中表现,利用好图形特征来理解相关最值问题,往往比较容易找到取得最值得临界点,从而快速的解决问题。

已知椭圆C:的右焦点为F,点P(1,3),若点Q是椭圆C上的动点,则周长的最大值为( )

A. B.17

C.30 D.

解:如图,设椭圆C的左焦点为F',

则的周长

由三角形的三边关系可得

当在PF'的延长线与椭圆C的交点时取等号

∴,故选D.

点评:本题主要利用椭圆的定义求解最值问题,涉及到了“化曲为直”的数学思想,需要用三角形的三边关系找到取得最值的临界点,从而解决问题。

三、利用图形特征探究问题

灵活地利用图形的特征探究相关数学问题,运用数学结合的方法,得到相关数学结论,可以简化计算,起到事半功倍的效果。

已知,。动圆 M与外切,与内切,求动圆M的圆心E轨迹方程.

解:由题意得:

两式相加得:

∴圆心E是以C1,C2为焦点的椭圆

∴可得a=3,c=1∴b2=8

∴动圆 M的圆心E轨迹方程为.

点评:本题考查定义法求轨迹方程的方法,利用圆与圆外切和内切的几何性质,得到椭圆的定义,从而求出圆心E轨迹方程。

四、构建直观的数学模型解决问题

在实际的数学情境中,构建相关的直观模型,更加容易发现形与形、形与数之间的关系,从而发现图形的运动规律。

已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AD=AB,E为CC1中点,P在对角面BB1D1D所在平面内运动,若EP与AC成30°角,则点P轨迹为 ( )

A.圆 B.抛物线

C.双曲线 D.椭圆

解:如图,取AA1中点F连接EF,记 EF∩面BB1D1D=0,连接PO,易得PO⊥EF, ∠OEP=30°

∴在Rt△POE中可得

∴点 的轨迹是以O为圆心,半径为的圆

故选A

点评:本题考查了空间几何体的轨迹问题,解题的思路是把空间几何问题转化为平面中的几何问题,从图中求出点 的数量关系,利用圆的定义得到的轨迹是圆,考察了化归和数形结合的数学思想。

“数学知识的形成依赖于直观,数学知识的确定依赖于推理。” 在“直观想象”的培养中,要善于利用图形的几何特征,利用“形”与“形”“数”与“形”的相互关系,发现图形的关键特征,利用这些关键特征处理好相关问题,让学生在学习中积累自己的“直观想象”经验,“悟”出门道。

参考文献:

[1]]史宁中. 数学的抽象[J].东北师大学报(哲学社会科学版),2008(5).

[2]方厚良.学函数,用图象[J].中小学数学(高中),2016(4).

[3]陈敏,吴宝莹.学核心素养的培养——从教学过程的维度[J].教育研究与评论,2015(04).

[4]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师,2016(6).

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