提高课堂效率，减轻学生负担<br/>——关于几何体的外接球问题

提高课堂效率，减轻学生负担
——关于几何体的外接球问题

2019-08-03四川省内江市隆昌市第七中学

中学数学杂志 2019年13期

☉四川省内江市隆昌市第七中学易琴

☉四川省内江市隆昌市第一中学陈强

进入高三下学期，留给学生的时间越来越少，精力也越来越有限，对我们老师的要求也越来越高，势必要求我们提高课堂效率，以减轻学生的负担.那么，怎样才能提高课堂效率呢？下面笔者就以“几何体的外接球问题”为例，设计一堂探究课，谈谈笔者自身的一些看法.

一、研究考纲，明确要求，了解学生学情

根据高考的考纲要求，近几年高考对球的要求从理解变为了了解，但不管怎么降低难度，几何体的外接球始终都是高考的难点与热点.对于空间想象能力较弱的学生来说，平时花了不少时间来训练、练习，但到考试的时候还是一头雾水，感觉无从下手.为了解决这个问题，笔者研究了近几年的高考试题和各地的模拟试题，发现近几年高考对几何体的外接球的考查难度降低了不少，而且绝大部分试题可通过化归转换为两类几何模型的外接球问题，从而使问题轻松得到解决.

二、立足学生，引导探究，制定“特有”方法

1.长方体模型——侧棱垂直于底面、对棱相等的四面体

对于一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体，通过分析长方体与球的几何图形（图1），得到关系式：，从而得到与外接球半径相关的式子：（2R）2=，其中c为长方体的高h，而为平面ABCD与球O的截面的小圆直径2r，由此可得：外接球半径的关系式（2R）2=h2+（2r）2.所以对任何一个几何体而言，只要具备“侧棱垂直于底面”，都可化归转换为长方体模型，利用此关系式便可求出几何体的外接球半径，从而降低了对学生空间想象能力的要求.

另外，对于对棱相等的四面体也可转换为长方体模型（图2）.

若四面体的三组对棱的长度分别为x，y，z，则（2R）2=

图1

图2

看大家听得都比较疲惫，在讲解完模型后，给出了第一个例题：

例1如图3，四边形ABCD是边长为的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______.

图3

许多空间想象能力弱的学生，看到这个题就感到慌张、烦躁，导致最后直接放弃.于是笔者开始引导学生寻找几何模型，通过分析翻折前后的几何图形，学生很快就发现AP⊥平面PEF，此题具备“侧棱垂直于底面”的特征，可以化归转换为长方体模型.此时，好多学生由刚才的烦躁开始变得活跃，甚至有人说：“只需求得底面PEF所在的小圆的直径即可，而且易得底面小圆直径EF=，AP=2，于是球的半径，所以S表=18π.”

笔者看大家情绪高涨，于是给出了下一个例题（留足5分钟思考）：

例2在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，AB=AC=，BC=2，点G为△ABC的重心，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=______.

刚展示完题目，就有不少学生吼道：“由AD⊥底面ABC可知，此题具备“侧棱垂直于底面”的特征，可化归转化为长方体模型.”也有不少学生开始动笔演算起来；很快有不少学生就给出了标准答案：

图4

所以由公式（2R）2=h2+（2r）2，可得AD=h=4，

于是tan∠AGD=2.故填答案：2.

此时，学生都比较兴奋，于是笔者介绍了第二种几何模型：

2.正n棱锥模型

设正三棱锥S-ABC的高为h，外接球的半径为R，底面小圆的半径为r，由（图5）分析可得OC2=OO12+O1C2，其中OC为外接球半径，OO1为小圆面的圆心与球心之间的距离，O1C为小圆面的半径r，由此可得：正三棱锥外接球半径关系式为R2=r2+|h-R|2，同理对正六棱锥S-ABCDEF而言（如图6），也符合此关系式.