基于数学核心素养的课堂设计——以直线与平面垂直的判定为例

☉江苏省清河中学 王新明

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“数学学科素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，共同组成了一个有机的整体.”由此可见，数学核心素养应该成为高中数学课程目标的基本体现，是学生个体终身发展以及社会需要的基本素质和必备品质.笔者认为，数学核心素养首先要落实到课堂教学设计上，从而让课堂成为学生核心素养成长的土壤.本文以“直线与平面垂直的判定”新授课的教学设计为例，分享笔者的实践与思考.

一、过渡语言的设计

如果将一节课比作成一场观众期待的春节联欢晚会，那么课堂过渡语言就是晚会主持人的串词.一节课常常有多个知识点，如何做到“无缝对接”，使得教学过程自然流畅，这是教学设计中必须要考虑的一个重要问题.在“直线与平面垂直的判定”这节课中，如何从直线与平面垂直的定义“直线与平面内任意一条直线垂直”过渡到直线与平面垂直的判定的探究，笔者在这节课中是这样设计的：

我们知道直线与平面内任意一条直线垂直，则直线就与这个平面垂直.这是直线与平面垂直的定义，肯定可以作为直线与平面垂直的判定.但你觉得这样去判断，方不方便呢？不方便的地方在哪里？那么一个自然的想法就是：减少直线的条数.减少到几条合适呢？

授课时发现，通过这几句话的过渡，学生的积极性一下子就被调动了起来，探究直线与平面垂直的判定的热情明显高涨.

二、教学问题的设计

培养学生的数学核心素养，关键在于培养学生会思考.而思考当然是以问题为牵引，因此课堂设计常常要对关键性问题的提出进行斟酌.问题何时提？问题怎么提？问题提到什么程度？这些都是教师需要再三思量的.

在“直线与平面垂直的判定”一节中，笔者通过投影天安门城楼升国旗的背景，让学生观察旗杆与地面上的影子的关系，从而抽象地概括出线面垂直的定义.为了达到预期的课堂教学效果，笔者设计了如下三个问题，进而让学生进行环环相扣的思考.

（1）在阳光的照射下，旗杆AB与它在地面上的影子互相垂直吗？

（2）随着太阳的移动，显然影子也会跟着发生变化.请问：旗杆AB还与它的影子互相垂直吗？（教师通过电脑动画展示，旗杆AB始终与地面内过B的任意一条直线垂直，也就是旗杆AB始终与它的影子垂直）

（3）旗杆AB与地面内不经过B的直线也相互垂直吗？为什么会这样呢？

通过以上三个问题的设计与引导，学生很容易发现旗杆在与地面垂直的情况下，旗杆会与地面上的任何一条直线互相垂直，进而抽象地概括出了直线与平面垂直的定义，从而形成了本节课的核心概念.

数学抽象是六大数学核心素养之首，它是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展和应用的过程中.通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验.

通过上面问题的设计，能让学生顺利抽象出线面垂直这一核心概念，为了进一步巩固这一概念，笔者又设计了如下两个问题让学生进行辨析.

（1）如图1，直线l与平面α垂直吗？（显然不垂直，学生很容易找到一条直线与l不垂直）

（2）如图2，平面α内能找到直线与l垂直吗？能找到几条呢？无数条可以吗？

图1

图2

通过设计这两个问题，让学生从正反两个方面来巩固对线面垂直定义的掌握.尽管直线与平面内无数条直线都垂直，但直线与平面并不一定垂直.由此可见，直线与平面垂直定义中的“任意”不可以改为“无数”，同时也为进一步探索直线与平面垂直的判定定理做好铺垫.

三、课堂探究的设计

课堂探究是指学生围绕着某个数学问题自主探索、学习的过程.课堂探究是课堂设计中非常重要的环节，因为真正的数学教育应当是数学知识再发现的教育.为此，笔者选择三角形折叠探究实验，让学生动手操作并确认线面垂直的判定定理.笔者紧扣判定定理所需的条件将折纸实验分成如下三步，并设置了三个问题：

怎么折（明确垂直关系）、怎么展（明确两相交直线）、怎么放（明确两相交直线在平面内），然后让学生自主探究直线与平面垂直的判定定理，鼓励学生将上述探究所得的结论用数学语言表述出来，经讨论后规范呈现.鉴于教材中没有给予判定定理的证明方法，笔者借助定义让学生加深对线面垂直的判定定理的认同感，培养其理性精神.有了前面圆锥的形成作为铺垫，学生容易得到折痕AD与桌面内的任意一条过点D和不过点D的直线都垂直，从而与桌面垂直，最终完成定理的教学.

值得强调的是，引导学生归纳出线面垂直的判定定理之后，应及时告知学生这是用不完全归纳法得到的，严格来说是需要进行证明的.只是教材在这个地方没有给出，在我们学习向量之后是可以进行证明的.这也恰恰说明了数学具有形式性和经验性的双重特点.正如波利亚所指出的：“一方面，数学是欧几里得式的严谨科学，从这方面来看，数学像是一门严谨的演绎科学；但另一方面，数学像是一门试验性的归纳科学.”我们要让学生在学习数学的过程中认识到数学的这两个方面的特点，既强调抽象归纳，又重视演绎推理.

总之，课堂探究的设计是一门高深的学问.它不仅仅是探究实验或问题本身的设计，还包括对其呈现方式、利用方式、实验预设、连锁反应、推广应用等一系列的问题的探究.

四、题组变式的设计

著名的数学家陈省身先生说过：“数学的确好玩，它就像一个花园，你在外面看看也许不起眼，可是你一旦走进去就会发现那是一个奇妙而美丽的世界.”高中数学课堂如果在教师的精心设计下，如水乳交融一般，则让学生有更多体验成功的机会和平台，从而使学生的思维变得更加活跃.数学课堂可以充分发挥问题变式，形式上可以是“一题多变”、“多题一变”、“一题多用”、“多题一用”等.关键是要能突出知识之间的内在联系，能有效地完成教学目标.在“直线与平面垂直”的判定一节中，笔者给出了一组变式题目：

例题 如图3所示，在三棱椎V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB.

图3

图4

变式：（1）在三棱椎V-ABC中，VA=VC，AB=BC.求证：VB⊥AC.

（2）如图4所示，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系.

（3）在（2）的条件下，有同学说“因为VB⊥AC，VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，这种说法对吗？

例题主要考查的是直线与平面垂直的判定定理的应用，变式（1）在原题的基础上，考查了直线与平面垂直的定义；变式（2）是对课本例题的灵活应用；变式（3）进一步巩固了直线与平面垂直的判定定理.三个变式环环相扣，都强化了本节课的主要内容，突出了知识之间的内在联系，同时又使得各个要点之间融会贯通，从而圆满地达成了课堂教学目标.

俗话所说：“活到老，学到老”.在新课程的背景下，教师要善于拓展自己的教学方式，激发学生的学习兴趣，从而真正提升学生的核心素养.