三角形的三边长的代数式与面积之间的不等式

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

三角形的边长与面积之间存在很多关系， 有等式关系，例如海伦公式也有不等式关系，例如本文深入探究三角形的边长与面积之间的不等式关系，得到了三角形的三边长的各种代数式与面积之间的不等式.

在△ABC 中， 内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，面积为S， 由海伦公式知其中p =为半周长.

首先给出本文要用到的引理.

引理1a,b,c ∈ℝ， 3(ab+bc+ca) ≤(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)，当且仅当a=b=c 时等号成立.

由均值不等式易证引理1.

引理2A,B,C 为△ABC 的三个内角，sin A+sin B+当且仅当时等号成立.

证明由和差化积公式得

接下来给出三角形的三边长的各种代数式与面积之间的不等式.

1.三角形的三边长的和与面积之间的不等式

结论1当且仅当a = b = c 时等号成立.

证 明由 海 伦 公 式 和 均 值 不 等 式 得所以当且仅当a=b=c 时等号成立.

结论1 给出三角形的周长与面积之间的不等式.由结论1 可得： 周长为定值的三角形中，正三角形的面积最大;面积为定值的三角形中，正三角形的周长最小.

推论1当且仅当a=b=c 时等号成立.

证明由引理1 和结论1 得3(a2+b2+c2)≥(a+b+所以当且仅当a=b=c时等号成立.

推论1 给出三角形的三边长的平方和与面积之间的不等式.

2.三角形的三边长的积与面积之间的不等式

结论2当且仅当a=b=c 时等号成立.

证明由正弦定理得a = 2R sin A， b = 2R sin B，c = 2R sin C，其中R 为外接圆的半径，则2R2sin A sin B sin C.待证不等式由均值不等式和引理2 得当且仅当时等号成立.所以当且仅当a=b=c 时等号成立.

结论2 给出三角形的三边长的积与面积之间的不等式.由结论2 可得： 三边长的积为定值的三角形中，正三角形的面积最大;面积为定值的三角形中，正三角形的三边长的积最小.

由均值不等式和结论2 可立即推出结论1： (a+b+c)2≥

推论2当且仅当a=b=c 时等号成立.

证明由均值不等式和结论2 得ab + bc + ca ≥所以ab+bc+ca ≥当且仅当a=b=c 时等号成立.

由引理1 和结论2 以及均值不等式可得以下不等式链： 3(a2+b2+c2)≥(a+ b + c)2≥3(ab+ bc+ ca) ≥

3.三角形的三边长的线性和与面积之间的不等式

结论 3x,y,z ＞ 0,(xa + yb + zc)2≥其中k 满足方程且当且仅当a : b : c =时等号成立.

证明由海伦公式得

令1+n+t-m = 2xk， 1+t+m-n = 2yk， 1+m+n-t = 2zk， 解得m = (y +z)k -1， n = (z +x)k -1，t = (x + y)k - 1.由取等条件(a + b + c) = m(b +c-a) = n(c+a-b) = t(a+b-c) 得且所以且所以k 满足方程由m,n,t ＞ 0 得所以(xa+yb+zc)2≥当且仅当时等号成立.

结论3 给出三角形的三边长的线性和与面积之间的不等式.由结论3 可得： 若三角形的三边长的线性和为定值，则三角形的面积有最大值;若三角形的面积是定值，则三角形的三边长的线性和有最小值.

在结论3 中， 若x = y = z = 1， 解得k = 2， 得此即结论1.

推论3若x,y,z ＞ 0， 且xa + yb + zc = l， 则其中k满足方程

下面结合例题说明结论3 和推论3 在三角形中的应用.

例1△ABC 的三边分别为a,b,c，若2a+7b+11c =120，求△ABC 面积的最大值?

解析由题可知x = 2， y = 7， z = 11， l = 120， 解方程得由推论3得当且仅当时等号成立.由2a+7b+11c = 120 和a:b:c=8:7:5 得a=8，b=7，c=5，此时△ABC 面积取最大值.

例2△ABC 的三边分别为a,b,c， 若△ABC 面积为求3a+3b+7c 的最小值?

解析由题可知x = 3， y = 3， z = 7， S =解方程得由结论3 得所以3a+3b+7c ≥32，当且仅当时等号成立.由和a : b : c = 3 : 3 : 2 得a = 3，b = 3，c = 2，此时3a+3b+7c=32，取最小值.

4.三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式

结论4x,y,z ＞0，xa2+yb2+zc2≥当且仅当时等号成立.

证明由余弦定理和柯西不等式得xa2+ yb2+zc2= xa2+ yb2+ z(a2+b2-2ab cos C)= (x +z)a2+ (y + z)b2- 2zab cos C ≥2zab cos C =- 2zab cos C =由取等条件(x+z)a2= (y+z)b2和得和不妨设则得所以当且仅当时等号成立.

结论4 给出三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式.由结论4 可得： 若三角形的三边长的线性平方和为定值，则三角形的面积有最大值;若三角形的面积是定值，则三角形的三边长的线性平方和有最小值.

推论4若x,y,z ＞0， 且xa2+ yb2+ zc2= l， 则当且仅当时等号成立.

下面结合例题说明结论4 和推论4 在三角形中的应用.

例3△ABC 的三边分别为a,b,c，若a2+b2+2c2=40，求△ABC 面积的最大值?

解析由题可知x=1，y =1，z =2，l =40，由推论4 得当且仅当时等号成立.由a2+b2+2c2= 40 和得此时△ABC 面积取最大值.

例4△ABC 的三边分别为a,b,c， 若△ABC 面积为求a2+2b2+3c2的最小值?

解析由题可知由结论4 得当且仅当时等号成立.由和得此时a2+2b2+3c2=88，取最小值.

利用以上三角形的边长与面积之间的不等式，可以有效解决有关三角形的三边长的和，积，线性和，线性平方和与面积的最值问题，为解决此类问题提供了简单快捷的方法.