面面平行的两个重要结论及其应用*

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

1.面面平行的两个结论

人教A 版普通高中课程标准实验教科书必修2 在第2.24 节(即课本第60 页)给出了面面平行的性质定理.

结论1如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

结论1 告诉我们可以由平面与平面平行得到直线与直线平行.另外，由面面平行还可以得到一个重要的结论：

结论2如果两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线与另一个平面平行.

结论2 在课本中并没有以性质定理的形式出现，但是在解题中却经常用到.也就是说，由面面平行可以得到上述两个重要的结论，这两个结论在立体几何的解题中经常涉及到，本文举例说明.

2.结论1 的应用

结论1 的作用不仅仅用来证明线线平行，其实更为重要的作用是找出两相交平面的交线或者找出交线与已知直线的位置关系(此时不一定要找出具体交线的位置).

例1如图1 所示， 正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为a，点P 是棱AD 上一点，且过B1， D1， P 的平面交底面ABCD 于PQ，点Q 在直线CD 上，求PQ 的长.

解析由于面ABCD//面A1B1C1D1，面PD1B1∩面A1B1C1D1=D1B1，面PD1B1∩面ABCD =PQ，根据面面平行的性质定理可知，PQ//D1B1.又DB//D1B1，所以，PQ//DB.结合题意，由于故在AB 上取点M，使得此时PM//DB，故点Q 为PM 与CD的交点.根据三角形的相似性易求得

图1

评析过B1，D1，P 的平面交底面ABCD 于PQ，交线PQ 该如何确定呢?由于点P 是棱AD 上一点，且故点P 的位置是确定的，那么如何确定点Q?利用结论1 找出过B1，D1，P 的平面与面ABCD 的交线PQ.

例2(2015年全国卷II 第19 题) 如图2， 长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB =16，BC =10，AA1= 8， 点E,F 分别在A1B1，D1C1上， A1E = D1F = 4.过点E,F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由).(2)略.

图2

解析由于面A1B1C1D1// 平面ABCD， 面α∩平面A1B1C1D1= EF，根据面面平行的性质定理，有面α 与面ABCD 的交线必与EF 平行，设为HG.连接EH，FG，则四边形EFGH 即为所求正方形.

评析题目告知过点E,F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形，那么这些交线如何画出?利用结论1 找出交线HG.

例3(2016年全国I 卷第11题) 平面α 过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A， α// 平面CB1D1， α∩平面ABCD = m，α∩平面ABB1A1= n， 则m,n所成角的正弦值为( )

图3

解析如图3 所示，设面CB1D1∩平面ABCD = m1，面CB1D1∩平面ABB1A1= n1.由于α// 平面CB1D1，平面ABCD ∩α = m， 平面ABCD∩面CB1D1= m1，根据面面平行的性质定理有m//m1.由于面ABCD// 面A1B1C1D1， 面CB1D1∩平面ABCD = m1， 面CB1D1∩平面A1B1C1D1= B1D1， 根据面面平行的性质定理有B1D1//m1.因此有m//B1D1.由于α// 平面CB1D1， 平面ABB1A1∩α = n，平面ABB1A1∩面CB1D1= n1，根据面面平行的性质定理有n//n1.由于面DCC1D1// 面ABB1A1，面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1，根据面面平行的性质定理有CD1/ln1.因此有n//CD1.因此， m,n 所成角的正弦值为B1D1与CD1所成角的正弦值.由于△CB1D1是一个正三角形，故正弦值为

评析题目条件为α//平面CB1D1，α∩平面ABCD =m，但是并未告知平面CB1D1和平面ABCD 的交线是什么; 题目条件为α// 平面CB1D1， α∩平面ABB1A1= n，但是并未告知平面CB1D1和平面ABB1A1的交线是什么.那么如何确定这两条交线呢?事实上并不一定要把这两条交线找出来，利用结论1 进行转化轻松求解，化抽象为具体，实现解题的优化.

3.结论2 的应用

结论2 的作用不仅仅用来证明线面平行，更为重要的作用是解决立体几何中的一些翻折问题，动态问题或者作图问题.

例4如图4 所示， 在矩形ABCD 中， AB = 2AD， E 为边AB 的中点.将△ADE 沿直线DE翻转成△A1DE(A1/∈面ABCD).若M,O 分别为线段A1C,DE 的中点.则在△ADE 翻转的过程中，下列说法错误的是( )

A.与A1DE 面垂直的直线必与直线BM 垂直

B.异面直线BM 与A1E 所成角是定值.

C.一定存在某一个位置，使DE⊥MO.

D.三棱锥A1-ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值.

解析对于A 选项，取CD 的中点F，连接BF，MF.由面面平行的判定定理可知面A1DE//面MFB， 又BM ⊂面MFB，所以BM//面A1DE.因此与面A1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直.

评析利用结论2 证明出BM// 面A1DE， 从而与面A1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直.

图4

图5

例5如图5 所示， 已知点E,F 分别为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AA1上的点，且点M,N 分别为线段D1E 和线段C1F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有几条?

解析取连接FH， 则FH//AB.在线段D1E 上取在线段DE 上取连接OH,OK,BK.则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE，在段D1E 上任取一点M，过点M 在面D1HE 中，作MG//HO， 交D1H 于G.再过点G 作GN//HF， 交C1F于N，连接MN.由面面平行的判定定理可知面MNG//面ABCD，又MN ⊂面MNG，所以MN//面ABCD.由于M 为D1E 上任意一点，故与面ABCD 平行的直线MN 有无数条.

评析利用结论2 证明出MN//面ABCD，结合点M的动态性，可得与面ABCD 平行的直线MN 有无数条.

例6如图6 所示， 在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E,F 分别是棱BC,CC1的中点.P 是侧面BCC1B1内一动点.若A1P//面AEF，则线段A1P 长度的取值范围是____.

图6

解析取B1C1中点M， B1B 中点N.连接A1M,A1N,MN.由面面平行的判定定理可知面A1MN//面AEF.又A1P//面AEF，P 是侧面BCC1B1内一点，所以点P ∈MN.易求得

评析利用结论2 可知， 必须找到一个平面包含直线A1P， 且该平面与面AEF 平行， 再结合点P 是侧面BCC1B1内一点，从而得到点P 在面A1MN 与面BCC1B1这两个平面的交线MN 上.

例7如图7 所示， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 是棱AB 的中点，F 在CC1上，且CF =2FC1.点P 是侧面AA1D1D(包括边界)上一动点，且PB1//面DEF，则tan ∠ABP 的取值范围是______.

图7

解析取连接B1M,B1F,MD.易知四边形MDFB1为平行四边形，故B1M//DF.取D1C1中点N，作NG//DF，交DD1于G，连接MG,NB1.由面面平行的判定定理可知面MB1NG//面DEF.又PB1//面DEF，P 是侧面AA1D1D(包括边界)内一点，所以点P ∈MG.易求得

评析利用结论2 可知， 必须找到一个平面包含直线PB1， 且该平面与面DEF 平行， 再结合点P 是侧面AA1D1D 内一点， 从而得到点P 在面AA1D1D 与面MB1NG 两个平面的交线MG 上.

例8如图8 所示， 在三棱柱ABC-A1B1C1中，P,Q 分别为棱AA1,AC 的中点.在面ABC 内过点A 作AM//面PQB1交BC 于点M，写出作图步骤并证明.

图8

解析步骤： (1)取BB1中点N，连接AN.(2)连接BQ，取BQ 中点H.(3)连接AH，并延长BC 交于M.

证明由面面平行的判定定理可知面ANH//面PQB1.由于AM ⊂面ANH，所以AM//面PQB1.

评析利用结论2 可知， 必须找到一个平面包含直线AM，且该平面与面PQB1平行，再结合AM 在面ABC 内，从而得到AM 在面ANH 与面ABC 两个平面的交线AH上.又点M 在BC 上，故而延长AH，与BC 交点即为M.本题利用结论2 作图，得到符合题意的直线AM，进而确定点M 的位置.

4.结束语

在长期的教学实践中，笔者发现对于上述面面平行的两个结论的认识，不少学生和教师仅仅停留在简单的利用结论1 来证明线线平行，利用结论2 来证明线面平行，遇到较为复杂或较难的题目就不懂得利用上述两个结论处理.这不能不说是对面面平行学习的一种缺失和遗憾.从本文论述不难发现，利用两个结论来处理立体中的交线问题，翻折问题，动态问题，作图问题等，可以化繁为简，化抽象为具体，实现解题能力的提升.因此在立体几何的教学中教师一定注重对概念，公理，判定定理，性质定理的深层次讲解，而不是停留在表面的肤浅的简单认识上，并且在此基础上通过典型题目进行巩固和综合应用，唯有如此才能提升学生运用综合法求解立体几何试题的能力，提高学生的数学思维和逻辑推理能力，提高复习效益.