利用点的坐标运算探究椭圆的一些几何性质

广东省广州市执信中学(510080) 朱清波

在高中数学解析几何章节中，椭圆的几何性质探究是一个重要的部分，一般情况下我们多采用直线和曲线方程联立，再利用根与系数的关系和整体代换的思想来处理相关问题，体现出数形结合的数学思想.但这类问题“形”转化成“数”的研究占据绝大多数，而通过“数”中运算来发现“形”的性质问题则非常少.即总是先有几何结论再去代数验证，缺乏几何结论的原始发现过程.事实上，从椭圆的标准方程入手，借助点的坐标形式我们能从一些代数运算的结构中发现椭圆的某些几何性质，从而体会到代数结构的背后隐藏着几何性质的数学之美.

性质1若P(x0,y0) 是椭圆第一象限内一点， A,B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，记△POA,△POB,△AOB 面积分别为S△POA,S△POB,S△AOB，则

图1

解析故结论成立.(注：动点P 在其它象限或坐标轴上也有类似结论.)

继续由等式b2x2+ a2y2= a2b2， 通过配方得到(bx+ay)2+(bx-ay)2=2a2b2，将其“主动”转化成一个有几何意义的结构新等式中左边出现的是点到线的距离公式，这揭示了椭圆的又一个几何性质：

性质2已知P 是椭圆上任一点， 设P 到两直线bx ± ay = 0 的距离分别为d1,d2，则为定值.(证明过程略)

接下来我们考虑椭圆上有两个点带来的几何性质，假设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，均在椭圆上，那么必然有

图2

性质3设AB 是椭圆的弦， P 为AB 的中点， 若直线AB 和直线OP 斜率均存在，则两斜率之积为

图3

证明记直线AB 和直线OP 斜率分别为k1,k2，A(x1,y1)， B(x2,y2)， 则故即结论成立.

继续探究两点均在椭圆上的情况，若将(1)和(2)两式相乘，整理后可得(b2x1x2+a2y1y2)2+a2b2(x1y2-x2y1)2=a4b4，考虑到△AOB 的面积公式则上式可化为4a2b2·=a4b4-(b2x1x2+a2y1y2)2≤a4b4，即则上述推导过程表明椭圆具有如下性质：

性质4设AB 是椭圆的动弦，O 为坐标原点，则△AOB 的面积最大值为

图4

图5

解析由上述推导可知结论无误， 且取等条件为b2x1x2+ a2y1y2= 0， 在直线OA,OB 斜率kOA,kOB均存在的情况下，取等条件可表述成

若将上述两等式(1)和(2)相加，整理后得b2(x1+x2)2+a2(y1+ y2)2- 2(b2x1x2+ a2y1y2) = 2a2b2.如图5， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，现新增条件“O 是△ABC 重心”，即有代入上式可继续化简，即为由C 在椭圆上，则有结合性质4 中相乘后的恒等式(b2x1x2+a2y1y2)2+a2b2(x1y2-x2y1)2=a4b4，则有再利用重心知识，此推导过程表明椭圆具有如下性质：

性质5已知△ABC 是椭圆的内接三角形，且坐标原点O 为其重心，则△ABC 的面积为定值

最后，若将(1)(2)式改为

性质6已知AB 是椭圆的弦，A′与A 关于x 轴对称，设直线AB,A′B 分别与x 轴交于P,Q 两点，则|OP|·|OQ|=a2.

图6

证明设A(x1,y1)， B(x2,y2)， 则直线AB 方程为：令y =0，得同理，将y1换成-y1，可得则有|OP|·a2.

通过上述推导，我们发现利用点的坐标符合椭圆方程能导出椭圆隐藏的一些优美的性质，这需要我们在课堂教学中打破那种总是用直线和曲线联立的类似验证的惯性思维.从坐标形式出发，在耐心的运算中作一些联想和推导，即可以从另一个角度来感受圆锥曲线隐藏着的这些几何性质的美妙.