不要冗长要简约 不要面纱要秒杀

福建省福州华侨中学(350004) 李文明

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，数学学科的核心素养包括： 数学抽象、数学推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这些数学学科的核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体.正因如此，作为选拔和发现具有数学潜能学生的中学数学竞赛不仅要考查学生数学核心素养方面是否有突出的表现，更要考查学生的数学思维品质和创新能力，因此，对中学数学竞赛试题认真研究，创新思考，不仅对中学数学教学十分有益，而且更有利于培养学生的数学创新能力.下面我们对几道数学竞赛题进行认真探索，创新思考.

一、四个案例

题目1 (2018年第六届“学数学”奥林匹克邀请赛(秋季) 第一试第10 题) 设λ 为实数， 已知对任意的非负实数a,b,c， 都有M ≤λ(a2+b2+c2)成立， 其中试求实数λ的最小值.

解答取可得

法一首先证明如下引理.

引理若a,b ≥0， 则

引理的证明引理等价于

最后一式显然成立，从而，引理得证.

回到原题.

不妨设a ≥ b ≥ c， 则ca ≥ c2,bc ≥ c2， 于是

法二不妨设a ≥b ≥c，则ca ≥c2,bc ≥c2，于是M ≤若b=0，则c=0，结论显然成立.若b ＞0，考虑(a ≥b ＞0).不妨设a2+b2=1，并设t=a+b，则易知1 ＜从而，令则g′(t) =

题目1 的点评第10 题参考答案证法一，是先取特殊值，进而得到λ 的特殊值，然后证明引理，再用引理证明最后结论，方法一虽然看上去比较简明，但是特殊值的选取比较神秘，甚至有点莫名其妙;

证法二是先放缩，再运用换元法，再构造函数，再分类讨论，再利用导数解决问题，过程冗长复杂

首先由于a,b,c ≥0，所以当a=b=c=0 时，λ ∈ℝ 原不等式恒成立.当a,b,c 不全为0 时，不妨设a ≥b ≥c ≥0，则原不等式

恒成立，当且仅当c=0 时“=”成立.当c=0 时，

恒成立，因此

由此我们就可以知道其实特殊值的选取并不唯一，例如我们可以选择更加简单的特殊值也就是说只要a=b ＞0 且c=0 都是可以的! ! 甚至是我们根本就不用选取特殊值进行试探，而是分析透彻，认清本质，一气呵成，至此神秘面纱荡然无存!

犊牛肉的主要挥发性风味物质为酮类、醛类和醇类，其中醛类多为不饱和醛，前腿肉中的主要成分为醛类，其中庚醛、正辛醛和壬醛含量分别为19.07(106/g)、27.25(106/g)、108.10(106/g)，显著高于其他两组(p<0.05)。里脊肉中的主要成分为醇类，其中1-戊醇、1-辛烯-3-醇、2-十六烷醇含量分别为31.66(106/g)、9.85(106/g)、4.27(106/g)，显著较高(p<0.05)。后腿肉的主要成分为酮类，其中3-羟基-2-丁酮、甲基庚烯酮含量分别为32.02(106/g)、8.88(106/g)。成年牛肉的酯类和醇类数量显著较高(p<0.05)。

题目2(2018年第六届“学数学”奥林匹克邀请赛(秋季) 第二试第二题) 设n ∈ℕ∗， 正整数数列{xn} 满足1=x0≤x1≤···≤xn.证明：

解答用数学归纳法证明.当n=1 时，有

结论成立.假设当n=k 时，结论成立.即

下面证明，当n=k+1 时，结论也成立.若xk+1＞(k+1)2，则由归纳假设得

而

代入式①即得

此时结论成立.若xk+1≤(k+1)2，由1 = x0≤x1≤··· ≤xk≤xk+1，知对所有i = 1,2,··· ,k+1,xi-xi-1都是非负整数，故从而，

此时结论也成立.综上所述，结论对任意n ∈ℕ∗都成立.

题目2 的点评原证明方法采用了数学归纳法和分类讨论， 这种解法虽然是与自然数相关的命题证明的常用方法，但是过程冗长繁难，技巧性很强，学生难以把控.

题目2 的新证明下面我们认真分析问题的本质特征，创新思考，给出自然的、简约的具有普适性的创新证明.

恒成立，因此

题目3(2018年全国高中数学联合竟赛加试A 卷第一题) 设n 是正整数， a1,a2,··· ,an， b1,b2,··· ,bn， A,B均为正实数， 满足ai≤ bi， ai≤ A， i = 1,2,··· ,n 且证明：

证明由条件知，记则化为k1k2···kn≤K.要证明

对i=1,2,··· ,n，由于ki≥1 及0 ＜ai≤A 知，

结合K ≥k1k2···kn知， 为证明①， 仅需证明当A ＞0，ki≥1(i=1,2,··· ,n)时，有

对n 进行归纳，当n = 1 时，结论显然成立.当n = 2 时，由A ＞0，k1,k2≥1 可知

因此n = 2 时结论成立.设n = m 时结论成立， 则当n=m+1 时，利用归纳假设知，

最后一步是在③中用k1k2···km，km+1(注意k1k2···km≥1，km+1≥1)分别代替k1,k2，从而n = m+1 时结论成立.由数学归纳法可知， ②对所有正整数n 成立，故命题得证.

题目3 的点评参考答案与评分标准采用数学归纳法进行证明，过程冗长，技巧性很强，无形之中增加了问题的难度!

题目3 的新证明不妨设A ≥a1≥a2≥··· ≥an＞0,b1≥b2≥···≥bn＞0，由于

又因为

恒成立，因此

当且仅当b1= b2= ···= bn= a1= a2= ···= an＞0 时，“=”成立，所以

题目4(2018年全国高中数学联赛陕西预赛第二试第五题)设a,b,c ＞0.证明：

证明有对称性不妨设a ≤b ≤c，则

以LHS 表示待证不等式的左端.当a2+bc ≤b2+ca ≤c2+ab 时，即a+b ≥c 时，由切比雪夫不等式

当且仅当a=b=c 时，等号成立.当a+b ＜c 时，

显然有LHS ＞ab+bc+ca.综上所述，原不等式成立.

题目4 的点评参考答案先设序，然后放缩，再运用著名的切比雪夫不等式，然后在运用著名的Nesbitt 不等式进行证明，过程虽然不是过于复杂，但是多次运用著名不等式定理，难度较大!

题目4 的新证明不妨设a ≥b ≥c ＞0，则

恒成立，因此

当且仅当a=b=c 时“=”成立，所以

二、感悟与启示

我们从上面给出的四个问题的参考答案不难发现，这些问题的解答也都注意到了实数的有序性，但是对实数的有序性公理却视而不见，因为习惯了套路，习惯了已有思维，已有的经验，已有的模式，相信无论有多少迂回曲折，还是可以运用最常用的杀手锏——一些著名的不等式定理、利用函数导数总能够使问题得到解决，因此也就忘却了思考，更忘却了创新思考，因此过程繁难也就不足为怪，另外，如果作为一道奥林匹克竞赛题，好像解法就不能简单已经成为不约而同遵守的“原则”，从而从某种意义上限制了人们的创新思考，因此我们一定要从数学问题的本质出发探索和发现数学问题的内在联系，追求自然，崇尚简约，多一点思考.少一点套路，让数学的美妙滋润每一位数学爱好者的心田.