面板数据公共变点的非参数最大似然估计

高鹏丽,夏志明

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

面板数据中存在公共变点这一现象在经济学中十分常见.本文用非参数最大似然的方法研究了面板数据中带有单个公共变点的问题,证明了当面板个数N和每个序列的观测值n都非常大时估计量的统计性质.

迄今为止,大量的文献致力于研究变点模型,尤其是在经济学、基因组研究、质量控制、信号过程等领域.文献[1-2]最早研究面板数据变点问题.他们研究了随机变点模型中带有N个序列的变点问题,且假设每个序列存在一个变点,而所有变点构成的序列是独立同分布的.文献[3]用贝叶斯的框架分析面板数据中的变点问题.文献[4]基于经验似然的方法研究了半参数变点模型,并且运用该方法检测一个分布中存在的变点.文献[5]提出了另一种经验似然方法,没有假设两个分布中存在任何关系.但是没有将这种方法直接推广到面板数据问题.文献[6]应用经验似然的方法检验两样本均值问题.文献[6]建立了面板数据中均值和方差变点的相合性,他用最小二乘方法去估计均值变点,同时用拟最大似然方法估计均值变点和方差变点,并且证明方差中没有变点的情形拟最大似然的方法比最小二乘的方法效果更好.文献[8]应用非参数最大似然的方法研究了多元变点问题.近来,文献[9]用累积和的方法估计面板数据中共同的均值变点,并且建立了变点估计量的相合性.文献[10]分别用最大似然方法和最小二乘方法估计面板数据中共同的均值变点,并且对两种方法进行了对比,建立了变点的相合性和渐近分布.文献[11]提出了一种涉及独立分析每个时间序列的新的方法来检测面板数据中最新的变点集合.

文章其他部分的结构如下:第二部分给出了统计模型及基本假设.第三部分运用非参数最大似然方法得到变点估计量,并且证明了变点估计量的相合性及收敛速率.第四部分对全文进行总结.

2 统计模型

基于独立的数据Xi1,Xi2,···,Xik∗,Xik∗+1,···,Xin,1≤k∗

在此模型中,每个序列有一个公共变点k∗,其中k∗是未知的.序列{Xit}的变点前后的累积分布函数分别是Fi1(x)和Fi2(x),并且满足Fi12.称n是观测值的数目或者是样本量,N是面板个数.下面给出理论结果所需要的假设.

假设 1假设当n→∞时,有

假设 2(a)Fi1,Fi2是连续函数,且Fi12;

假设3当n→∞,N→∞时,.

假设 4假设i个面板之间是独立的,其中i=1,···,N.

3 变点估计

3.1 变点估计的非参数最大似然方法

对于单个时间序列中不存在变点的情形,文献[8]已经给出了非参数最大对数似然函数.即假设X1,X2,···,Xn独立同分布F0,并且令是样本的经验累积分布函数,则.如果把样本看作是成功概率为的二项数据,那么非参数最大对数似然函数为

类似的基于模型(1),可以得到单个面板(N=1)变点估计的非参数最大似然函数.即对给定的k满足1≤k

对(2)式关于i求和可以得到N个面板的非参数最大对数似然函数为

为了估计变点k∗,以积分的形式最大化(3)式

其中w(.)是正的权函数,所以Rn(.)是有限的,且对所有的u进行积分.

3.2 变点估计量的性质

定理 3.1在模型(1)下,如果假设1-假设4成立.当n→∞,N→∞时,有

为了证明定理,首先给出如下几个引理.

引理 3.1对n→∞,N→∞,如果假设1-假设4成立,则

这个引理表明UNn(k)和VNn(k)之间的距离在k处一致小.

引理 3.1的证明根据UNn(k)和VNn(k)的定义,有

则可以得到

接下来讨论VNn(k)在k∗处取得唯一的最大值.

引理 3.2对k∈(1,n),VNn(k)满足,其中C1是常数,且C1>0.

引理3.2的证明令

其中C1,C2是正常数.由对称性,只需要考虑k

定理3.1的证明已知

最后一个不等式是根据引理3.2得到的.上述不等式对每一个k∈(1,n)成立,特别的对也成立.因为

推论 3.1在模型(1)下,如果假设1,2和3成立,当n→∞,且N→∞时,

4 结论

本文研究了带有单个公共变点的面板数据变点估计量的统计性质.运用非参数最大似然方法得到变点估计量,并在序列数N及每个序列的观测值数量n都趋于无穷时证明了变点估计量的相合性及收敛速率.