角的“两条弧交点法”三等分

湖北襄阳第四中学(441021)路桥 朱天斌

湖北襄阳襄州文联退休者(441000) 刘德友

图1 的∠AOD (OA = OD)是大约60°∼140°的任意的角.应该有免计算的此前未被人知的方法能用来将其三等分.

图1

本文表述笔者在这个范围内的探索，而探究这个范围之外的角的三等分将另文进行，在其中对比解释.

以O 为圆心，OA(或OD)为半径画成弧AD，就有扇形OAD.连接弦AD， 如图2 所示.仍以尺规作图法(以下的尺规作图法一般不再说明)画出弧AD 的中点G，连接OG，OG 是扇形OAD 的对称轴.分别画出弧AG、弧DG 的中点K、M，易知弧AK =弧KG=弧MG=弧弧AD.连接OK，得到扇形OAK，弧AK 和弧DM 关于OG对称(相当于对应的扇形为轴对称图形.为了简洁， 这样以弧对称代所在的扇形对称的说法，以下不再说明)，K、M 是弧AK、弧DM 的内对应点，是OK 成为对称弧之一的内径的条件.A、D 则是弧AK、弧DM 的外对应点.连接AK、KM、DM，有四边形AKMD，由弧AD 中的弦AK、KM、DM、AD 和图形轴对称的性质，推出对称轴OG 垂直于对应点所连线段KM 和AD，由这个结论，推出KM//AD，由这里已知的弧AK =弧DM，得到它们所对的弦AK = DM，再由梯形和等腰梯形的定义， 易知四边形AKMD 是圆内接等腰梯形， 是轴对称图形， 对称轴在OG 中.分别画出弧KG、弧MG 的中点N、H， 连接ON， 易知ON 是∠AOD的8 等分线之一，弧AN、弧DH 关于OG 成轴对称，N、H是弧AN、弧DH 的内对应点，是ON 成为对称弧之一的内径的条件.分别画出弧NG、弧HG 的中点E、F，连接OE，易知OE 是∠AOD 的16 等分线之一，弧AE、弧DF 关于OG 成轴对称，E、F 是弧AE、弧DF 的内对应点，是OE 成为对称弧之一的内径的条件.同理于四边形AKMD 为圆内接等腰梯形，A、E、F、D 构成已确定的一个圆内接“代等腰梯形”，A、N、H、D 构成已确定的一个圆内接“代等腰梯形”，这样的圆内接“代等腰梯形”在此及此后都是由于省略多数的边或所有边而致，以使其总图疏朗简洁一些，还能保存圆内接等腰梯形可被利用的一些性质功能.以这样的四个点代所在的等腰梯形的做法及用途，以下不再说明.

连接弦AM，AM 还是等腰梯形AKMD 的等长对角线之一，合起来就可以叫做“圆内接等腰梯形的对角弦”(简称为“对角弦”)，它交弧AK 的内径OK 于J 点.连接对角弦AH，它交弧AN 的内径ON 于L 点.连接对角弦AF，它交弧AE 的内径OE 于Z 点.

图2

可以看出，交点J、L、Z 不在同一条直线.根据“不在同一条直线的三个点可以确定一个圆”的定理和“两个点确定一条直线”的公理，为了简化图形实现疏朗，这里就可以用“J点、L 点”代JL 线段，能起到JL 线段的一些作用(“Z 点、L点”之间也如此.这样以两个点代所能成的一条线段的做法及用途，以下不再说明)：分别画出“代线段J、L”和“代线段L、Z”的垂直平分线，它们相交于Q 点，连接QJ、QL、QZ，易知QJ = QL = QZ.以Q 为圆心，QJ (或QL 或QZ)为半径画出弧JZ，J、L、Z 共弧JZ.以OA 为直径在扇形OAD 内画出半圆弧OA，它交弧JZ 于V 点.则V 既是弧JZ、弧OA 的交点，又是独条内径(因O、V“两个点确定一条直线”)经过的点，这条内径就是∠AOD 的三等分线之一.求证V 是内径经过的点.

证明连接OV，延长它至弧AD 于B 点，有半径OB.连接AV，有圆周角△AV O、△AV O，延长AV 至弧AD 于C 点，就有了弦AC，V 就是半径OB、弦AC 都经过的点.假设(1)：V 不是内径经过的点(即半径OB 与弦AC 以及点D 在弧AD 所构成的弧AB 不等于弧DC，A、B、C、D 四点不构成已确定的一个圆内接“等腰梯形”，B 点、C 点不是内对应点，OB 不是内径，AC 不是圆内接等腰梯形的对角弦).

来看看(2)的事实及推论.以O 为圆心，OV 为半径画弧交OD 于R 点，成为弧V R.连接BD 弦，结果BD 与弧V R相切.由OB = OD (两者都是扇形OAD 的半径)，△OBD就是等腰△，易知等腰△OBD 是以OB 腰、OD 腰为对称边，以底边BD 的中线(还是连自BD 的高)为对称轴的两个对称的Rt△(BD 边的中线是这两个Rt△的公共直角边)，BD 的中点还是BD 与弧V R(其半径是OV 之长)的切点，故这两个Rt△的公共直角边= OV (*).因为∠AV O 是作为直径的OA 所对的圆周角(在以上已知)，所以∠AV O 是直角(直径所对的圆周角是直角)， △AV O 是Rt△.因为以上(*)处的结论，又在图2 中已知OA = OB = OD，所以等腰△OBD 全等于2Rt△AV O (HL)，∠BOD = 2∠AOV (即相应地， 弧BD = 2 弧弧AD)，已经过V 点的OB 就是△AOD 的三等分线之一.由Rt△AV O 可知OB 是AC 弦的垂径，弧AB =弧BC (垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧).由这个结论和这里已知的弧BD = 2 弧AB，易知弧BD = 2 弧BC，即C是弧BD 的中点，弧AB =弧BC =弧DC.显然，弧AB、弧DC 关于OG 成轴对称，A、B、C、D 构成已确定的一个圆内接等腰梯形，B、C 是弧AB、弧DC 的内对应点(这是OB成为对称弧之一的内径的条件)， OB 是弧AB 的内径， AC是圆内接“等腰梯形ABCD”的对角弦之一，V 是内径OB、对角弦AC 都经过的点.

已假设的(1)矛盾于(2)的事实及推论，由此可知(1)不正确.根据排中律，(1)的“V 不是内径经过的点”不对，所以正确的只能是：V 是内径经过的点.

经过以上的证明，可知可信弧JZ 与弧OA 交点的奇妙!这两条并非内径及其对角弦的弧线相交成一个(内径及其对角弦的)交点(即四者共这个点)，这个点以尺规作图法不能直接地画出其内径(所在扇形的圆心角的三等分线之一)及其对角弦就当然不能由这种情况下没有的它们俩交成;而由前两者交成，它的位置没变，就使人能够完成三等分它所在扇形的圆心角.