例谈“两根之和”与“两根之积”后的题解突破—记2018 佛二模试卷中解析几何题讲评感悟

广东省佛山市顺德区第一中学(528300)常艳

高考中解析几何考题往往是考生们望而却步的难点，纵观近五年的全国卷，解析几何考题虽极有规律[1]，却还是大部分考生的得分洼地.究其原因无非是运算量太大，使得大部分考生在联立方程后写出两根之和与两根之积便果断放弃了.无论是在模拟考还是高考中也只能这样丢卒保车.笔者以2018年佛山市高三年级第二次模拟考试中的第20 题为例，为全区的青年教师开设了一节公开课，例谈解析几何教学中如何利用已有经验帮助学生寻找解题突破口.

一、题目

(2018 佛二模数学(文)20)已知直线l 过点P(2,0)，且与抛物线Γ : y2= 4x 相交于A,B 两点，与y 轴相交于点C，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点.

(1) 当A 是PC 中点时， 求直线l 的方程; 答案：y =2x-4.

(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D，求|OB|·|OD|的值.

分析 此题全市的平均得分为1.62 分，笔者所任教班级的平均得分为4.37 分， 其中第(1)题得分率为100%， 第(2)题的情况可想而知.考试时大部分考生在写出两根之和与两根之积后便果断停笔进行下一题，似乎已不愿再多想.有些同学尝试利用两点间的距离公式表示出|OB|·|OD|，但面对接下来的运算无从下手;也有些同学考虑到条件“交直线OB 于点D”，此处可能蕴含着两种情况：点D 在线段BO上或在线段BO 的延长线上，由此想来分两种情况考虑既耗时也不保证解的出来，所以也就作罢了;还有些同学试图写出“以AB 为直径的圆”的方程，可无论是圆的标准方程中的a、b、r，还是圆的一般方程中的D、E、F，恐怕都要面对繁杂的计算，也就放弃了.也就是说，对于这道题每个学生都有自己的想法，但迫于考试时的时间压力，不得不舍弃.所以笔者在当晚的作业中布置了对这个题目的再思考，便出现了这个超越参考答案的“妙解”.

二、解法探究

解法一设直线l 的方程为y = k(x - 2)， A(x1,y1)， B(x2,y2)，D(x3,y3)，则得所 以x1+ x2= 4 +因为AD⊥OB，即kAD·kOB= -1，所以即若D 在BO 上，有|OB|·|OD|=(舍); 若D 在BO 的延长线上， 有-(x2x3+y2y3)=-(x1x2+y1y2)=4.

图1

此解法轻松排除点D 在线段BO 上这一情况， 为同学们扫除了第一个“障碍”， 课堂上通过几何画板演示时也证实了这一情况.那么课上顺着这个解法最后的式子分析即即即|OD| 是方向上的投影.如此想来再结合图象观察，这显然是一条捷径，根本不涉及复杂的运算，只需充分挖掘图形本身的几何特征，并用代数形式(坐标)加以表示，这种数形结合的思想正是解析几何这门学科的精髓，也是突破解析几何问题的关键.

此解法中还蕴含着转化的思想，即将点D 的坐标转化为“已知”的点A、点B 的坐标表示，从而利用两根之和与两根之积整体代换求解.化归与转化是数学中重要的思想方法.那么，由于O、D、B 三点共线，所以点D 的坐标也完全可以转化成点B 的坐标表达，即

解法二因为O、D、B 三点共线， 所以即D(λx2,λy2).因 为AD ⊥ OD， 即即所 以

以上几种解法充分利用向量的坐标表示进行目标转化、简化处理，根本不需要写出“以AB 为直径的圆”的方程就可以求解.那么要是能够写出“以AB 为直径的圆”的方程，又可以找到怎样的突破呢? 以此题所给条件“以AB 为直径的圆”，显然此处选择圆的直径式方程[2]更适合.

以AB 为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2) +(y-y1)(y-y2) = 0， 所 以x2+ y2- (x1+x2)x -(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0，所以

有了圆的方程，要如何建立其与|OB|·|OD|的联系呢?

观察图中|OB|即为直线上点B 到定点O 的距离，|OD|即为直线上点D 到定点O 的距离，此处若用两点间的距离公式来表达显然不合适.那么继续挖掘图形特征，点B 的位置在点O 的上方，点D 的位置在点O 的下方，回顾以前是否见过类似特征的模型呢? 可否只用一个字母来表达|OB|和|OD|呢? 以此引导学生联想直线的参数方程中t 的几何意义，重在利用学生在极坐标与参数方程时获得的基本经验来解题.

解法三设直线BD 的参数方程为：(t 为参 数)， 将 其 代 入 (*)， 得 t2-=0，所以t1t2=4，所以|OB|·|OD|=|t1||t2|=|t1t2|=4.

图2

利用参数方程解决解析几何问题的方法打开了学生的思路，于是很快就有学生想到图中的直线BD 过原点，所以|OB|、|OD|也完全可以利用极坐标方程中ρ 的几何意义来表达.

解法四以AB 为直径的圆的极坐标方程为：ρ2-设 直线BD 的极坐标方程为：θ = α(ρ ∈ R)， 将 其 代 入 上 式， 得ρ2-0，所以ρ1ρ2=-4，所以|OB|·|OD|=|ρ1ρ2|=4.

极坐标与参数方程的使用充分简化了繁杂的代数运算，为解析几何的解题开拓了一片天空.当然随着直线倾斜角的参与转化也为同学们开拓了另一个思路.

解法五设直线BD 的方程为：y =mx，则

图3

图4

借助倾斜角将线段|OB|、|OD|分别转到了x 轴上，利用其横坐标进行表达，再借助倾斜角与斜率的关系，轻松求解.

那么，既然x 轴可以提供便利，我们不妨设圆与x 轴的两个交点分别为E(xE,0),F (xF,0)，那么BD 与EF 即为圆内的两条相交弦，则由相交弦定理可知

解 法 六|OB| · |OD| = |OE| ·|OF|=|xE|·|xF|=|xE·xF|.由得所 以xE· xF= -4， 即|OB|·|OD|=|OE|·|OF|=|xE||xF|=|xE·xF|=4.

至此，此题已经完全被简化，同学们也已经在各种惊呼中忙着做笔记了.我们利用了多种方法对|OB|·|OD|进行转化表达、简化求解.达到了一题多解，拓展思维的目的，而一题多解真正的意义在于多解归一，回顾以上几种解法，可归结为以下三种思路：

图5

（一）解题工具的选择与应用

前面几种解法中分别利用了向量、极坐标与参数方程对目标进行转化，将问题简化处理.解题时，注重数学结构思想的运用，利用以前做题时获得的基本活动经验，即极坐标中ρ的几何意义和参数方程中t 的几何意义来表达|OB|·|OD|，自然而然地将目标与学生已知的两根之积搭建联系，从而解下去.由此，解析几何的教学中，要注重启发学生思考，选择合适的解题工具.数学不是算术，不需要死算、硬算.极坐标与参数方程是简化距离问题最好用的“工具”，一定要勤于思考，善于使用.

（二）结论的补充与使用

解析几何的主要对象有直线与圆，由于直线的方程是一次表达式， 无论设与求都相对容易.而此题中圆的方程， 无论是求圆的标准方程中的a、b、r，还是求圆的一般方程中的D、E、F，都相对繁杂.然而我们课本必修2 习题4.1A 组第5题就曾给出过以AB 为直径的圆的方程的证明，那么上题若利用此圆的直径式方程进行表达，顺势代入上一步的两根之和与两根之积，实属一大突破.所以教学中，也要引导学生关注题目的结论，做过的题目要研究其结论的意义和价值，并且将这种价值发挥到以后的解题中，才不辜负以往所做的题.

（三）几何定理的运用

此题最后的解法即利用相交弦定理可谓“一招制胜”，然而几乎所有学生早已忘记还有这么回事.解析几何是平面几何的一个分支，平面几何中很多定理在解析几何的解题中都有重要的价值，所以教学中，我们要重视对几何定理及几何关系等价转化的培养，让学生真正理解解析几何的本质[3].

讲解这道题，准备这节课，我也深深的感悟到，在解析几何的教学中一定要有耐心、要等待，要给学生表达想法的机会，帮助其获得解决一类问题的基本经验[4]，从而促进其认知结构的发展，使得他们在不断的探索研究中学会解题，更学会解决问题.