例析核心素养导向的高考试题—以2018年高考全国卷I 理科第12 题为例

山东省临沂市教育科学研究中心(276000)李建国

一、试题呈现

(2018年高考全国卷I 理科第12 题)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则α 截此正方体所得截面面积的最大值为( )

图1

思路分析第一步， 找截面.正方体共有12 条棱，以从同一顶点出发的三条棱为基础， 可分为三组平行线，“每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等”，等价于“从同一顶点出发的三条棱与平面α 所成的角都相等”.如图1，以同一顶点A1出发的三条棱A1A,A1B1,A1D1为例.显然这三条棱所在直线与截面AB1D1所在平面所成角相等，因此所求截面所在平面与截面AB1D1所在平面平行.

第二步， 找面积最大截面.沿A1到C 的方向用平行于面AB1D1的平面(该平面同时垂直于A1C) 切割正方体， 得到的截面先是等边三角形， 通过截面AB1D1后变为对边平行的六边形， 再通过截面C1BD 后又变为正三角形， 根据正方体的对称性， 猜想最大截面是经过六条棱AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA 中点的截面EFGHJK(如图1)，此截面为正六边形，计算其面积为初步确定选A.

第三步，验证猜想正确.

二、素养导向

教育部考试中心任子朝先生指出，中国高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变.素养导向不但强调知识和智力，更强调知识的迁移和后天的习得.题目的特点是不追求题目结构完整，追求目标指向开放，要求临场思考发挥，目的在于更清晰、准确地考查学生的智力水平、思考深度、思维习惯和科学态度[1].本试题就能够充分体现这种思想.

(一)试题考查的数学核心素养

本试题借助立方体，以求其截面面积为问题情境，在知识层面考查学生对于线面角、正方体的结构特征、基本不等式等基础知识的应用， 在能力层面考查学生的空间想象能力、作图能力、运算能力、分析和解决问题的能力，同时突出考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等数学核心素养.

(二)知识理解与迁移

知识理解与迁移是数学核心素养的基础层次.本题是代数、几何的综合应用问题， 涉及的主要知识有：线面角的概念、基本不等式、正方体的结构特征、图形对称和函数变化思想.解答过程中需要对知识有深刻的理解并在新情境中进行知识的迁移.上述几何知识的理解表现在：认识到三角形AB1D1是正方体中与各棱所在直线所成角相等的截面(如图1)，平行于面AB1D1的平面都与各棱所在直线所成角相等.其迁移主要体现在与基本不等式相结合，认识到截面EFGHJK 就是面积最大的截面.在这部分知识的应用中，学生的空间想象能力得到充分运用，体现了学生达到的直观想象这一数学核心素养水平.基本不等式、图形对称、函数思想的理解和迁移表现在：以平行于面AB1D1的平面截正方体时，按照从A1到C 的方向，截面由一个点(A1)变为面积逐渐变大的正三角形，直到三角形AB1D1，再变为对边平行的六边形，六边形的边从不等到相等再到不等，再到三角形BC1D，之后是面积逐渐缩小的正三角形，最后缩为一点C.图形上述变化的过程是连续的，并且呈现出对称的特点，由此可以猜测在变化的正中， 也即出现正六边形时面积最大.这里无需建立函数关系，无需建立不等式，甚至无需做出所有截面图形，所有的思维由函数的图像与性质、基本不等式中等号成立的条件等知识迁移到新情境中推理完成.

(三)科学态度引领下的推证

科学态度是引领数学核心素养向更高层次发展的关键因素.在数学素养导向下，高考命题更加注重对科学思维的考查，要求学生以严谨的科学思维、严肃的科学态度去思考每一个实际问题.在本题解答的过程中，基于众多合理情境下的直觉思维是逻辑推理核心素养在展示学生创新思维方面的重要表现，但直觉思维并不意味着正确.在科学态度的引领下，具有更高素养的学生必然会对通过直觉思维获得的结论予以推证.

从正方体的顶点A1到C 的方向观察，截面的视图如下：

图2

图3

如 图 2， 在 截 面 图 形 EFGHJK 中， 由 于KE//DB//HG， JK//D1A//GF， EF//AB1//JH， 所以截面六边形的每一个内角始终保持120°不变， 并且EF =GH = JK， FG = HJ = KE， 但各个边长在变化.不妨设EF = a，FG = b.由图形相似容易得出，其中即因为BF +B1F =BB1，所以即

如图3， 将截面图形EFGHJK 分为两个全等三角形和一个等腰梯形，梯形的高为HP.在△HJK 中，分别由面积公式和余弦定理， 得HK2= a2+ b2+ ab， 所 以HP2= HK2- KP2=所以所以S截面图形EF GHJK =当且仅当a=b 时等号成立.

遗憾的是，由于本题是选择题，有没有实施这一推证对结果没有影响，也就难以区别答对的学生之间是否具有上述科学态度和相关的数学核心素养.

除了上面完整的逻辑推证外，本题也可以通过以下推理方式获得结论验证.

如图4，在一般六边形截面和当顶点为各棱中点的正六边形截面中， 比较二者的面积大小只需研究两个截面叠在一起时， 除共同区域外， 各自不能重叠的部分(余出的) 区域的面积大小.容易知道， 二者不能重叠区域都是等腰梯形，而且这些梯形的腰相等、内角相等，根据梯形上下底边的长短，很容易判断正六边形余出的梯形面积大于非正六边形余出的梯形面积，因此，当截面是正六边形时，面积最大.

图4

三、教学启示

(一)素养基于扎实的“四基”和“四能”

皮之不在，毛将焉附.数学核心素养是生长于数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验之上的，是发现与提出问题能力、分析与解决问题能力的提升.史宁中教授曾经谈到，数学核心素养是“四基”的继承和发展，“四基”是发展学生数学核心素养的有效载体.强调“四基”就要把握数学知识的本质，在数学教学活动中，让学生在掌握知识技能的同时理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累解题和实践的经验，在此基础上促使学生形成和发展数学核心素养.[2]本题中需要的直观想象的素养，是在学生学好三视图、正方体的结构特征、空间的线面、面面关系等基础知识的基础上，不断积累解题经验，形成作图、想象等基本技能，逐步获得根据立方体的特征，快速得到面积最大的截面形状的能力和直观想象素养.再如本题中用到的逻辑推理的核心素养，是对相似图形的性质、几何图形的面积计算等基础知识的综合应用过程中，逐渐发现a+b 为定值这一结论，再联想基本不等式的使用条件和与之有关的解题经验，最后得出正确答案.可见，在日常教学中，要扎实落实好“四基”，在提高“四能”的过程中，有目的地提升学生的数学核心素养.

(二)重视知识整合和情景设置

基于新课程标准的高中课程已经由模块化设计转到“主线——主题——核心素养”的课程内容结构，这种整合有利于学生核心素养的形成和发展.王尚志教授提出：“在落实数学课程标准的过程中，我们认为有三个需要重点突破的问题.第一，开展基于数学学科核心素养的教学.希望教师能从一节一节课跳出来，进行主题式教学(深度学习)设计和实施，因此，新标准特别强调‘把握数学本质’‘注重主题(单元)教学’‘重视情境创设和问题提出’.……”[3]

利用基本不等式解决问题的常见的情境有：实际问题中的面积最大、周长最小问题，工程造价的最值问题，经济活动成本最小问题、收益最大问题，代数式的最值问题，等等.这些问题的数学本质是：两个变量的和为定值，则积有最大值;两个变量的积为定值，则和有最小值.在本题中，问题情境设置为立体图形中的面积最值问题，尽管情境发生了变化，但数学的本质未变.因此，教学中加强知识的整合，在各种不同的情境中运用同一知识，有利于学生认识知识的本质，形成灵活应用所学知识分析解决问题的能力，提升数学核心素养.事实上，只有具备结构化的领域知识和技能，学生才能更好理解特定情境下的数学问题，形成解决数学问题的正确思路.不断进行不同情境下的问题解决，学生数学核心素养就会得到更大的提高.

(三)更多关注“如何学”

今天，以知识为本的传统教育已经让位于以学生为本的智慧教育.在智慧教育背景下，教师应该更多地关注学生学的方法，关注学生能否很好地接受学习的内容，关注学生如何分析问题、获得解题思路、反思解答过程，这比更多关注讲课的技巧更有意义.教学设计要从学生的实际出发，抓住数学知识本质，把握学生认知过程，创设合适的教学情境，提出适合的数学问题，启发学生独立思考，鼓励学生相互交流.只有如此才能真正实现从关注如何教到关注如何学的转变.

本题的解答过程中要突破三个难点：一是找到与每条棱所在直线成等角的一系列截面; 二是发现面积最大的截面;三是证明发现为真.突破这几个难点需要学生具有深厚的数学素养，扎实的解题功底，是个人解题经验的积累和释放.这种能力无法通过教师的讲来实现，毕竟教师讲过的题目有限，而新的问题情境无限.要使学生获得真正的解题本领，教师必须在“如何学”上下功夫，让学生学会如何观察、如何思考、如何引申、如何归一.欣赏北京航空航天大学自主招生试题中的2 道题[6]，我们更能体会学生学习中的自我领悟有多重要.试题：“2.椭圆的内接8 边形的最大面积为____.9.椭圆的面积为____.(提示：将平面上每个点(x,y)变为(x,ky)，则每个图形的面积变为原来的k 倍.) ”答案：详细解法及分析略.