基于需求量随机分布的存货模型教学研究

叶鸿烈

（广西民族大学相思湖学院，广西南宁 530008）

1 问题的提出

管理学家尝试建立了很多模型来帮助确定最优存货水平，以尽可能降低存货成本，其中包括短缺的成本，但这些模型中的好多个影响因素是确定性的，它们假定对产品的需求量也是常数。教学实践中，管理统计学和管理运筹学介绍企业管理过程中的存货模型时，都是从需求量作为常量开始，把每天、每月、每季度的需求量都视为固定不变的常数，通过求解极值的方法，得到相应的最佳订货点的订货量，但现实工作中，更多的情况下需求量是一个随机变量。所谓需求量为随机变量的存货模型，需求量是服从某种概率分布的，最简单的是需求量服从均匀分布以及正态分布。

应用概率模型假定订货到交货这段时间内的需求量是服从正态分布或者其他分布的随机变量。“订货点”是一个重要的概念，即向供应商提出订货申请时的存货水平。如果订货点太低，公司很可能会脱销，因此面临销售损失，顾客也很可能会转向其他竞争性公司。如果订货点太高，公司的存货量就会太多，储存和维护成本都很高。目前“存货”有渐渐过时的趋势，经理们定义了“安全库存”的概念，即以减少公司处于脱销状况的次数的额外的库存量。在实践中，他们设置了一个服务水平，即公司不会出现脱销的概率。我们以下面的例子说明如何确定订货点。

例1：快餐店的每个月内的需求量服从2 000～5 000（盒）的均匀分布，想要减少脱销的发生率，试图保证只有5%的概率脱销现象，也就是说服务水平达到95%，库存量应该处于什么水平？均匀分布的概率密度是。安全库存量X，则，X=2850，即订货点是2 850。

例2：如果这段时间的需求量服从均值为2 000、标准差为500的正态分布。要保证在这段时间内服务水平达到95%，只有5%的需求满足不了即产生脱销，如何确定订货点。如图1，我们计算得定货点是2 882.5。这里，我们要查右侧概率为0.05的标准正态变量的取值，Z0.05=1.645，那么，X=2 000+1.645 500=2 882.5。

通过引入概率知识解决存货模型中订货点的问题，学生就会提出这样的一个问题，如何理解需求量概率分布和计算出的订货点的真正含义以及相互关系。

2 问题的解决

库存模型的使用主要是用来确定使总成本最小的库存水平，如何使用概率模型对库存水平作出决策。模型的一部分是平均需求量的计算。通常情况下被认为是服从均匀分布和正态分布的。有几种方法可以确定这个需求量，但是最简单的方法是从样本中估计这个量。

图1 服务水平达到95%的订货点

例3：某计算机公司生产计算机，公司主要依靠价格和交货速度来和对手进行竞争。为了达到目标速度，公司把它的产品储存在仓库中，一般用一天就可以运送到客户手中。这个战略需要高难度的库存管理，从而会使相应的成本增加。公司经理想利用库存模型降低成本。日需求量是随机变量。他认为需求量服从正态分布，而为了计算最合适的库存水平，他需要知道需求量的均值。他记录每个期间内的需求量并列在表1中。业务经理想要知道平均需求量的95%的置信区间估计。

表1 某计算机公司日需求量

为了最终确定合适的库存水平，业务经理需要这段时间内的平均需求量。所以，待估参数是μ。因此，我们想使用的置信区间估计为：

公司经理估计这段时间平均需求量在643.45～535.43之间。他可以把这个估计作为改进库存策略的依据。作为平均需求量的一个特定值，可以通过上述模型计算出定购数量，并且，置信区间估计给出了置信上下限，从而使公司经理可以知道可能的结果。

如何理解这个平均值，一些人把这个置信估计错误地讲解为，总体均值以95%的概率位于643.45～535.43之间。因为这意味着总体均值是一个可进行概率表达的变量，事实上，总体均值是一个确定但是未知的量。因此，我们不能把的置信区间估计解释为的概率表达。为了准确地解释置信区间估计，应该记住，置信区间估计是通过样抽样分布得到的。我们使用抽样分布得到了样本均值的概率表达。计算出来的置信区间内包含总体均值的概率也是1-α，一旦样本均值被计算出来，总体均值的置信区间估计的上下限也就确定了。平均值确定后，我们就可以结合具体的需求量分布计算出定货点。

下面我们来说明需求为随机变量的单一周期的存储模型，它是指在产品订货、生产、存储、销售这一周期的最后阶段或者把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去甚至扔掉，报童问题就是一个典型的需求为随机变量的单一周期的存储模型问题。报纸数量是一个随机变量，每日售出d份报纸的概率P（d），售出一份报纸赚k元，如报纸未能售出，每份赔h元。如果订货量Q选得过大，那么报童就要因不能售出报纸造成损失，如果订货时Q选得过小，那么报童因缺货失去了销售机会造成了机会损失，如何适当地选择Q值，才能使这两种损失的期望值之和最小呢?可以推导出报童应该准备多少份报纸，（1）(详细推导过程见韩伯棠【管理运筹学】第四版P324)。

如上述例1.每盒快餐售出赚5元，k=5，如果售不出，则损失15元，h=15，该快餐店应该准备多少盒的快餐，使其损失值最小？

所以，Q*=2750（盒），并且知道，有25%的概率快餐盒有剩余，75%的概率快餐盒供不应求。

例4：快餐店的需求量假定服从以均值为2 000、标准差为500的正态分布。每盒快餐售出赚5元，k=5，如果售不出，则损失15元，h=15，快餐店应该每次准备多少快餐盒饭才使快餐店获利的期望值最大呢?这是一个需求为随机变量的单一周期的问题。

从概率论知识可知，由于需求量服从均值为2 000，标准差为500的正态分布，上式即为：，通过查阅标准正态表，即得，

Q*=-067σ+μ=-0.67×500+2 000=1 665

可知，当准备1 665盒快餐时，有25%的概率快餐盒饭有剩余，有75%的概率快餐盒饭可能供不应求。图2显示了这个结果。

图2 75%的概率供不应求的存储量

3 结语

存储管理中的需求量预测是一个比较重要的考虑因素，因为需求量是一个变化的因素，在教学中如何通过概率去讲授计算需求量是一个难点，通过上述分析，我们可以从分析历史的数据入手，把需求量设定为均匀分布、正态分析或者其他等，利用概率论知识计算出确定的定货点，同时知道可能剩余的概率和供不应求的概率，最后可以作出最佳的存储决策。