探求多维视角 践行一题多悟

缪凌颖

数学的教研活动一直以来都是数学教师成长的最佳途径之一，因此如何促进教师的专业成长应该也必然成为教研的主题，众所周知，解题析题不仅是数学发展的主要形式，更是数学教学的主体之一，近年，随着中考试卷的难度增加，如何优化解题教学路径是广大数学教师共同思考的一个问题，因此笔者所在的学校数学组经过长期深入研究，提出“类型化选题一切题点分析一多思多悟一横纵深推进”教研活动模式，旨在提高教师深入思考题目立意，挖掘背后的思想方法，引导教师从提高学生数学核心素养的角度深度剖析数学问题，解题教学时展示思维过程，提高中考复习的效率，本文以一个案例说明教研活动模式和对解题教学研究的一些理解.

1 选题背景

解题是每个数学教师必须磨练的基本素养，学校教研组平常要求教师多解题、多研究，提前一周选定主题和主讲人，试题选取标准以“试题背景”“研究价值”为主要参考，主讲人应说明试题背后的数学知识、思想方法、数学素养.

1.1 原题呈现

（2018年宁德市质检.24）如图1，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角AADE，其中∠ADE= 90°.

（1）如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH.求证：AGD∽AHE;

（2）如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，ABE是等腰三角形;

（3）在点D从点B向点C运动过程中，求ABE周长的最小值.

1.2 入选说明

本题入选是基于以下几个方面的思考：首先，这是一道几何动态压轴题，综合性强，涉及知识面广，包括相似、等腰三角形、对称、勾股定理等;其次，背后的数学思想方法多，包含转化、变换、构造、分类讨论、解析法等;第三，解法灵活多变，可多角度切入思考，发展发散思维，本文重点谈第（2）、（3）问，它们分别属于等腰三角形的分类问题和运动过程中动点的路径问题，从各地市的模拟卷和中考卷来看，这类问题已成为命题的关注点，因而对此类问题的解题通法研究和拓展富有意义和研究价值.

2 巧思妙解，集思广益

教研活动时，组长把选题发给组员，要求大家在限定时间内解题，并在黑板上写出自己的思路，分享体会，鼓励大家从通性通法、特殊巧解、合理变式、教学思考这四个角度去分析问题和解决问题.

2.1 借助勾股，寻找思路

通过对（2）问的分析，我们得出解题关键是对ABE是等腰三角形哪两边为腰进行分类讨论，如何通过设元借助勾股定理合理地表示三角形的三条边呢？看似思路简单，却蕴含着大量的计算，但不失为一种解决问题的通法，EH为线段AB的垂直平分线，则直线EH必过点G，

∴当BD=O或√2或2√2时，MBE是等腰三角形.

研习与反思这是针对当BE= AE时的一种巧妙的解题思路，利用垂直平分线的判定定理将（1）、（2）两小题联系在一起，将问题转化为已知的结论进行求解.

2.3 再探距离，以直代折

如何求解第（3）问呢？已知AB=4，则只需思考何时BE +AE最小，

思路1 由第（2）问的解法1知：

研习与反思由设元将几何问题代数化，利用两点间的距离的几何意义来解决最值问题，在初中阶段两点间的距离公式是教学的良好补充，教师可用此法来开拓思路、引发问题探讨，问题1：为什么x=√2呢？此时若作点A关于点C的对称点A，如图7，是否有B，E，A三点共线呢？问题2：连接CE，CE是否垂直平AA呢？问题3：点E的运动轨迹是什么？如何证明呢？

研习与反思以上解法主要分两个步骤，先证点E的运动轨迹在一条确定的直线上，再利用“将军饮马”模型来解决问题，这说明本题最大的难点在于探究点E的运动轨迹，但此法是点E在直线BC的下方，若点E在直线BC的上方呢？注意到ACE∽AHD仍然成立，所以∠ACE =∠AHD= 90°，即点E的运动轨迹是在一条确定的直线上，如图9，观察图形会发现∠ACE=∠ADE= 90°，联想到直径所对的圆周角为直角，因此A，D，C，E四点共圆，能否由四点共圆来证明呢？

研习与反思在旋转过程中又伴随着角度的不变，往圆周角方面去思考往往有柳暗花明的感觉，尽管在考纲中对四点共圆的要求有所淡化，但从各地的模拟卷、中考卷中均有不同程度的体现，

研习与反思也可直接设E（x，y），去寻找点E横、纵坐标所满足的关系，或者过直角顶点D构造出“K”型图来求取点E的坐标，从而确定E点的运动轨迹，建立直角坐标系可以实现几何与代数问题的完美转化.

2.4 回归本质——旋转位似

回顾各类解法，重新审视E点的轨迹，它的形成过程是由D点来决定的，每一个E点都是由D点绕着旋转中心A点逆时针旋转450再按1：√2位似放大得到，而D点的运动轨迹是一条线段，因此E点的运动轨迹也是一条线段，且点E经过的路径长一定是点D经过的路径长的√2倍，这是用一种函数的观点来刻画图形的运动变化.

3 精心变式，触类旁通

合理变式是走出题海的最好办法，紧紧抓住题目的核心知识改变其外在形式，对题目进行充分拓展，挖掘其内在本质，才可以真正做到触类旁通，培养发散思维和创新精神，同时也可以提高教师的命题水平，

变式1改动点的运动路径，如图12，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，CD⊥AB于D，P是CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰直角PBE，连接DE，求DE的最小值，

研习与反思由思路2的解答想到，连接AE，易证ABE∽CBP，则∠BAE= 45°，所以E点在直线AE上运动，考虑垂线段最短和中位线的相关知识，得出DE的最小值为2.

变式2改等腰直角三角形为矩形，如图13，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形，求在点P的运动过程中，点F经过的路径长，变式2和变式1类似，只不过相似的证明稍有不同（但在原题的解法中均有呈现），有兴趣的读者不妨试一试.

4 解而思教，悟道有方

4.1 以知识为载体的素养思考

以旋轉相似为背景的压轴题，往往和四边形、三角形、圆、函数等知识综合，结合其他代数、几何知识来命题，既让图形问题生动有趣又富有数学味，又是考查数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养的良好载体和培养学生创新意识和运动观点的良好契机，图形的变换问题要求抓住图形运动时的不变量，从点、线、面着手，把握变化规律，将其中的数量关系表达出来，这要求教学要时时关注到学生的知识能力，关注知识的内在联系，关注思维层次，关注核心思想和素养.

4.2 复习建议

近年来，以图形的运动为命题角度的中考数学试题在各地市已经屡见不鲜，因此，在复习中应引导学生回归旋转的本质，并运用这些基本性质来分析问题和解决问题，特别是积累各类基本模型，不断积累解题经验，以数学基本思想为指导，通过适当的变式训练，提高学生解决与图形有关的问题的能力，培养学生思维的广阔性、敏捷性、灵活性，在具体实施过程中，建议借助方格纸来帮助学生操作图形的旋转，同时厘清图形运动的本质是一个点的集合进行同样的图形变换，前后的图形之间的各种对应关系往往是解题关键，有条件的课堂教学可以结合几何画板进行模拟操作，引导学生深刻理解运动过程中的每个时刻图形又都是相对静止的，这些静止时刻的图形和原图形又有哪些不变性.

4.3 自省内化

以说题为载体的研修活动，要求教师在解题之后反思思维过程，暴露思维局限，在交流中学习新的思考角度，优化解题方法，归纳解法共性，这对解题能力的提高和经验的积累大有裨益，同时研修活动也将教师置于学生的同等情境，体会解题的乐趣和成就感，只有这样课堂教学中才能更合理地说明“为什么这样思考？”、“这些思考是基于什么背景？”久而久之，学生在解题过程中也会学会反思，提高自身的反省能力.

参考文献

[1]顾宏萍，孙学东.在问题合理性分析的过程中联想解题思路EJl.中学数学教学参考：中旬，2018 （4）： 20-22

[2]邵文鸿.研题探解变式论法[J].中学数学教学参考：中旬，2017 （11）：65-67