对2017年全国卷一道高考试题的探究

陈言

2017年高考全国理科卷I第16题内涵丰富，是教学的好素材，可通过一题多解、一题多变，挖掘试题中所隐藏的某些规律，提炼数学思想方法，提高教学实效.

1 试题再现

（2017年高考全国I卷·理16）如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆0上的点，？DBC，？ECA，？FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起？DBC，？ECA，？FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥，当？ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为____.

本题以几何知识为背景，通过折叠将平面图形转化为空间图形，然后研究三棱锥体积的最大值，试题将知识、方法、思想融为一体，突出研究性、探索性和实践性，综合性较强、难度较大，意在考查考生空间想象能力、数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题能力;考查考生在处理有关折叠和最值问题上的思想方法，

折叠问题是立体几何中的一类典型问题，而最值问题又是历年高考的高频考点问题，折叠与最值问题是命制试题的极佳素材，将两者综合起来考查使得试题内涵丰富，思想鲜明，考生解决此类问题的思维过程应该是（1）分析题设条件，弄清楚平面图形是如何折叠成空间图形的，并根据条件作出正确的图形;（2）分清折叠前后两图形中元素间的位置关系和数量关系，哪些发生了变化，哪些没有变化，即对于折叠前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较，观察并判断变化情况;（3）数学建模、代数计算、逻辑论证、求得结果.

2 解法探究

笔者注意到多数以“高考试题汇编”为名的书籍中，这道试题的解答几乎都是通过构造三棱锥体积函数模型，利用求导数的方法予以解决，其实同样属于“通性通法”，本题还可以利用基本不等式解答：

3 变式探究

思考1翻阅近五年的全国卷可以发现，与球有关的问题是高考的热点问题，以理科试卷为例，涉及对球的查考的试题有：2018年全国卷Ⅲ第10题、2017年全国卷Ⅲ第8题、2016年全国卷I第6题、2016年全国卷Ⅲ第10题、2015年全国卷I第11题、2015年全国卷Ⅱ第9题、2014年全国大纲卷第8题，球是特殊的空间几何体，把涉及球与柱体的切接、球与锥体的切接、球与球相切、球与几何体各条棱相切、球与旋转体切接的这些问题命制成试题，能够有效考查考生的数学能力和数学思想方法，因此笔者借鉴2016年全国新课标Ⅲ卷的第10题，尝试对本题进行改编，探索按题中要求折叠后，当三棱锥的内切球体积最大时，所得三棱锥体积的大小，

探究如图2，连接OD交BC与点G，

经过以上探究，可以编制试题如下：

试题变式1如图4，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，？DBC，？ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥，随着ABC边长的变化，当三棱锥的内切球半径最大时，三棱锥体积为____.

思考2在原题中，命题者在纸片上放一个等边三角形（三角形的中心与圆心重合），由解答过程可知当圆心到等边三角形各边的距离为2时，所得三棱锥体积最大，如果把题中等边三角形改成正方形，且正方形的中心与圆心重合，保留其它相应条件，然后按题中方法再进行一次折叠，那么圆心到正方形各边的距离是多少时所得四棱锥的体积最大？

探究如图4，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，E，F，M，Ⅳ为圆O上的点，EAB，FBC，MCD，NDA分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，连接OF交BC于点G，

由题意知OF上BC，

设OG =x，则FG=5-x，

沿虚线剪开折叠成四棱锥后，

故当x=2时四棱锥的体积最大，

于是原试题可以进行如下第二次改编：

试题变式2如图4，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，M，N为圆O上的点EAB，FBC，MCD，NDA分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起EAB，FBC，MCD.NDA，使得E，F，M，Ⅳ重合，得到四棱锥，随着正方形ABCD邊长的变化，当四棱锥体积取得最大值时，圆心O到正方形各边的距离为____.

思考3我们发现圆形纸片上不论是等边三角形还是正方形，只要按照题中所给方法将图形折叠后，若所得锥体的体积最大，则圆心O到锥体底面各边距离都等于2，这就引发一个思考，如果仅将原题中的等边三角形改成正多边形，再模仿原题的折叠方式折叠成一个正棱锥，当正棱锥的体积最大时，圆心O到底面正多边形各边的距离是否还是27若把圆形纸片的半径改为r，再实施相同的操作，当正棱锥体积最大时，圆心O到正多边形各边的距离为一，

探究圆形纸片的圆心为O，半径为r，该纸片上的正多边形A1A2A3…An的中心为O，B1，B2，B3，…，Bn为圆上的点，这些点与正多边形的各边构成分别以B1，B1，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形（如图5），现按原题方式折叠成正n棱锥，连接OB1交A1A2于点M，由题意知OBl上A1 A2，设OM =x，

试题变式3如图5，圆形纸片的圆心为O，半径为r，该纸片上的正多边形A1A2A3…An中心为O.B1，B2，B3，…，Bn为圆上的点，B1A1A2，B2 A2A3，…，BnAnA1分别是以A1A2，A2A3，…，AnA1为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以A1A2，A2A3，…，AnA1为折痕折起B1A1A2，B2 A2A3，…，BnAnA1，使得B1，B2，B3，…，Bn重合，得到一个正n棱锥，随着正多边形A1A2A3…An边长的变化，当正n棱锥的体积最大时，圆心O到正多边形各边的距离为____.

4 教学建议

从2016年起教育部考试中心经过“调布局、克难点”、修订“考试大纲”，将“立德树人、服务选拔、导向教学”作为高考的核心立场与基本功能，由此设计和制定了能够充分体现这一核心立场的“一体四层四翼”高考评价体系，并全面对接基于核心素养培养的普通高中课程标准和高考综合改革，在高考试卷上强化对核心知识、关键能力的考查，强化学科核心素养的渗透，强化应用意识，突出创新能力，试题不断推陈出新，作为一线教师应认真研究课程标准、考试大纲和近年来的高考试题，充分利用高考试题的典型性、导向性组织课堂教学，从知识、规律、思想、方法等方面引导学生分析研究高考试题，通过一题多解、一题多变，不断创设新颖的问题情境，构造一个个有一定深度和广度的数学问题，围绕必备知识、关键能力、学科素养、核心价值，从认知水平和能力水平等各层面上精准解决学生学习过程中的疑点和难点，有效培养学生的核心素养.

5 结束语

高考试题是教师教学以及学生学习的经典素材，教师在日常教学工作中，应加强对高考试题的研究与思考，探索试题背后的内在本质，借鉴试题命制的手法，对试题进行变式和拓展延伸，积极尝试设计一些新试题，这样做一是能够准确评价学生在数学学习中的发展状况、实际水平，二是能够根据学生实际情况，因材施教，最终达到提高课堂教学实效、提升学生数学核心素养的目的.