2018年高考全国l卷理科数学第21题的若干思考

黄顺进 黄耿跃

1 试题呈现

2 初步分析

题目所给的函数是由反比函数、正比例函数、对数函数3个基本初等函数通过四则运算组合而成，给考生的感觉是题干简洁，看了就会想往下做，具有一定的亲和力，第一问讨论函数的单调性，中等生基本能拿到分数，第二问证明不等式，对考生的思维能力、运算能力等要求较高，且要懂得利用第（1）问的结论，敢于代入不等式的左边进行化简，才能顺利求证不等式.

3 第（Ⅱ）问错误解法的思考

事实上，这样的问题等价是错误的，理由就是把存在性问题，看成任意性问题，且没有注意到a与x1，x2还是互相关联的，导致产生错误的解法.

4 试题第（Ⅱ）问多种解法的思考

解法1构造关于x1或X2的函数

由第（ I）问知，f（x）存在两个极值点当且仅当a>2.

解法2构造关于a的函数

从而原不等式得证，

评注由第（I）问有x1+X2=a，X1X2 =1可知x1，x2，a三者是存在一定的内在联系的，是互相牵制的，只要选定其中一个为变量，就可构造出新函数，于是也可以构造出关于a的函数，但中間要利用到洛比达法则或极限的思想进行说明，

解法3 利用函数的单调性

从而，原不等式得证，

评注在构造新函数前，必须把参数a消去，如果所构造的函数含有参数a将使求解陷入死胡同，难以为继，

解法4 利用整体换元构造函数

5 试题题源的思考

很多教师看到全国1卷的这道函数与导数试题，第一时间就想到2011年湖南文科第21题：

（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由，

笔者以为，不能因为找到了高考题的题源，就认为高考出这种题目水平太低了，而是要深入地去反思：为什么高考敢这样考？笔者认为，这种题目是经典题，它蕴含着很多数学的思想方法，是可以区分不同思维层次的考生，所以高考敢于用推陈出新命题手法命制试题，这应该引起一线教学的重视.

6 对函数与导数中双元问题的复习思考

17世纪，数学的发展突飞猛进，实现了从常量数学到变量数学的转折，变量数学又经历了单变量到多变量的发展变化，应该说中学阶段在研究变量问题时，更主要的还是以单变量问题为主，所以，这就给了我们求解双变量问题的启发，即：想方设法把双元问题通过换元或其它方法，转化成单变量问题，才能进行问题求解，事实上，本文提供的4种方法的本质都是转化成构造单变量函数问题.