两道数学试题命制源流的探寻与启示

郑雪静 陈清华

一线数学教师往往习惯于解题和就题论题，却很少站在命题者的角度探寻试题命制的源流，事实上，数学竞赛试题、高考试题、自主招生试题通常都具有深刻的命题背景，善于追溯问题的本源，而不是像波利亚所说的“像是帽子里跑出一只兔子”那样凭空而来，下面的两道试题的分析期许能起到抛砖引玉的效果，

这是一个含有6个未知量的不等式，命题者是如何想到这样不等式？为何这6个实数之间会存在这样的关系？下面我们来探个究竟.

1.1 试题I的源流

两个引理，已经启示我们命题的背景了，下面的解法进一步地告诉我们这个不等式的“源”.

1.2 试题I的解答

其实，不仅在竞赛试题中有相应的命题背景，高考中有些数学试题也具有丰富的问题本“源”.

2 试题Ⅱ

（2015年高考福建卷·理15）一个二元码由0和1组成的数字串X1X2…xn（n∈N+），其中xk（k=l，2…，n）称为第七位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.已知某种二元碼x1X2…'X7的码元满足如下校验方程组：

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于____.

该试题源于什么背景？命题者是如何想到的？为何用3个校验方程就可判定哪位码元发生错误？下面我们也来探个究竟.

2.1 试题Ⅱ的源流

计算机、通信等以二进制表示数据，但由于受元器件质量、电路故障或者噪音干扰等因素的影响，在对二进制数据进行处理、传输和存储的过程中，有时会出现误码（将1变为0或将0变为1）.这就有如何发现、纠正、解决误码的问题，所有解决这类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位，奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法，分为奇校验码和偶校验码，一个二进制码字，如果它的码元有奇数个，称其具有奇性，如码字：“1101101”有5个1，因此，这个码字具有奇性，同样，偶性码字具有偶数个1.奇偶校验是给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验，但奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误，在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中，原有信息中的数字在接收机中被检测，如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这时系统就会把错误的字抛掉或者请求重新发送，

在计算机中，有种位运算符，其针对两个二进制数的位进行逻辑运算，包括“与”、“非”、“或”、“异或（XOR）”4种运算，对于“异或”运算，这种算法最早是用在无线电通信上，那时计算机还没出现，电码原文跟密钥进行异或得到密文，密文发出去后，接收方用相同密钥对密文进行异或计算得到原文，比如，通过1001 XOR 1111=0110加密得到密文;反过来，通过0110 XOR 1111=1001解密得到原文，

对于接收方，可以根据3个校验方程对接收到的信息进行奇偶测试：

若3个校验方程都成立，即方程式右边都等于0，则说明没有错，若不成立即方程式右边不等于0，说明有错，从3个方程式的右边的值，可以判断是哪一位出错，比如，是第3位数字出错，则A=0（因为此方程没有x3），而B=l，C=1.它们可构成二进制ABC，以C为最低有效位，则错误位置就可以简单地用二进数ABC=011表示，其实，因（011）2=3，从而说明第3位数字出错，若3个方程式的右边的值为001，因（001）2 =1，说明是第1位出错.

2.2 试题Ⅱ的解答

发现方程组中的第一个校验方程和第三个校验方程不成立，第二个校验方程成立，由第一个和第三个校验方程说明第1、3、4、5、6、7中有一位码元发生错误，由第二个校验方程说明第2、3、6、7位中没有码元发生错误，因第一个校验方程和第三个校验方程都有X5，从而可以推知发生错误的码元只能是第5位，即k=5.从而通信过程中正确的码元应该为1101001.

解法2由解法1的方程组（2），得到三个校验方程的结果为101，从而可以直接由二制进换算成十进制（101）2=lx 22 +0×21 +lx 2°=5，直接得到k=5.

解法3k从1到7逐次的取值，代入校验方程组（1），只要不满足校验方程组（1）中的任何一个校验方程，则就是所求k.比如，当k=l时，则X1=0，

3 启示

3.1 高观初数的应用

法国数学家F·克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，因为观点越高，事物越显得简单，教师要能站得高，才能看得远，试题I具有深刻的高等数学背景[5]，从高等代数的矩阵性质揭示初等数学的不等式关系，命题立意新颖，也是近几年高考试题、竞赛试题、自主招生的一个命题特点，此题在用初等数学方法和高等数学方法解题的对比中可以看出，用初等数学解法需要一些技巧，而用高等数学知识解答更显优势，徐利治先生有言：“由于数学科学是一个有机统一体，许多分支学科都有共同的客观本原，这就决定了初等数学与高等数学必然是互通的，”中学教师平时教学应该多站在高观点下思考初等数学的问题，站在更高的角度俯瞰初等数学，以更好地在高观点下服务中学数学的教与学，开阔视野，提升境界.

3.2 教学视角的转变

在数学教学中，不仅要让学生知其然，还要让学生知其所以然，更要让学生了解甚至主动去探究何由以知其所以然，一方面，探寻问题的本“源”，追溯数学思维发展的源泉，不只见树林，还见森林;[4]另一方面，把握问题的“流”，培养学生养成纵向、横向思考问题的习惯，拓展学生的视野，培养学生思维的深刻性和广阔性，提高学生学习的兴趣，挖掘学生进一步学习的潜能，由“结果性教学”向“过程性教学”转变，当然，这与教师自身的数学专业素养有关，对教师的专业化水平提出了更高要求.

3.3 素养立意的命题

考试对教学具有很强的导向功能，影响着教师教学的深度和广度.2017年高考《考试大纲》指出：科学设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力，高考考试内容注重顶层设计，明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个考查要求.2018年新一轮高中课程改革在上海、浙江先行試行的基础上也即将在全国全面启动，期望通过改革让学习、教学、高考的要求保持一致，高校人才选拔，自主招生，大学先修课程，这些对学生数学素养的要求越来越高，以知识和能力为载体，突出素养立意，使命题有“源”而“活”、有“源”而“新”，随着信息技术的发展，大数据时代的到来，具备一些信息素养（Information Literacy）是每一名高中生的基本素养，试题Ⅱ的命题值得借鉴.

3.4 数学文化的渗透

数学文化的主要内涵是一种理性思维方式在实践过程中的不断探索，形成的数学史、数学精神及其应用.[5]新颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分，要引导学生感悟数学的文化价值[6]，教育部考试中心《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》（[2016]179号）指出：高考在能力要求内涵方面增加数学文化的要求，试题Ⅱ展示了数学在计算机、通信中的应用价值，很好地渗透了数学文化的因素.

3.5 精英人才的选拔

在初等数学与高等数学衔接处命题，或以时代为背景命题，这些已成为创新性试题命制的主流，高考、自主招生、大学先修课程，在这些选拔性考试中，命制一些能启发和促进学生向更深层次、从多角度思考问题的题目，才能更好地把学生的能力区分出来，才能更进一步考查学生进入高校学习的潜能，促进精英人才的有效选拔，同时，新一轮高中数学课程改革将压缩必修的学分，增加选修的学分，以鼓励在共同基础上学生的个性发展，为人才选拔开通更具选择性的途径，这些变化将给命题带来更多的挑战和机遇，

参考文献

[1]方献亚.正定实对称矩阵的几个不等式[J].数学通报，1985 （3）：31-32

[2]唐立华.的一个加强[J].数学通报，1990（8）：36-38

[3]唐立华.奥赛兵法高中数学[M].北京：北京师范大学出版社，2002（9）： 159一160

[4]孙居国.在数学解题教学中帮助学生认识“源”和“流”[J].中学数学，2011 （1）： 3-5

[5]陈昂，任子朝.突出理性思维弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透[J].中国考试，2015 （3）：10一14

[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[s].北京：人民教育出版社，2017