基于“数学运算”核心素养的培养，探索椭圆标准方程的推导

殷延恒

从以往的教学实践来看，每当学生学到“圆锥曲线”这一章时，都会遇到很大的困难——数学运算，在平时的学习和考试中经常是列几个代数式之后，就无从下手了，不能够进行有效的数学运算，更谈不上真正解决问题，因此要求学生用解析几何的基本思想（用代数的方法解决几何问题）解决问题也就成了一句口号，如何帮助学生解决这个困难和提升学生的数学运算素养，是这几年在教学实践中不断探索和思考的课题.

通过调查和笔者的教学实践可以发现，学生对运算感觉困难的原因主要有两个方面：

其一是高中教师对运算的认识加剧了学生实施运算的困难，在高中的数学教学中，教师一般不会把代数式的运算纳入到自己的数学教学目标中，更多的是关注如何帮助学生理解数学原理，学会分析问题，理清解题思路，而对问题解决过程中所需的运算推理指导不够，因为高中内容多，理解难度大，教师在课堂上需要花费相当多的时间去解决这些困难，客观上造成了课堂上很难再挤出时间对运算给予详细的指导，更谈不上在课堂上留出时间展示学生的运算过程.

其二是学生对运算的不重视致使运算水平难以提高，在初中，学生在课堂上有较多机会学习并练习运算;而在高中，教师在课堂上讲解运算的机会较少，由于学生觉得运算练习枯燥且乏味，没有较强思维的挑战性，往往不重视课下的运算训练，缺少必要的运算操作，从而对复杂的运算缺乏信心和耐心，致使学生对稍显复杂的运算畏难情绪严重.

针对以上问题，为了落实学生“数学运算”核心素养的培养目标，我们要精心设计自己的教学过程，比如在《椭圆的标准方程》新授课，当我们讲到对

问题1 对①式的化简，同学们有自己的想法吗？

在各个小组经过一段时间的思考、讨论、交流后，每个小组选派一个代表到黑板上展示，

生1：对等式两边直接平方整理得：

写到此处，生1就算不下去了.

师：难道直接平方不行吗？观察等式两边的结构，你能发现有什么特征吗？

经历了再观察、思考、交流后，

师：生2观察得很细致，能够发现等式的左边有“平方差的结构”，对于根号，平方后即可去掉，然后使用平方差公式和完全平方公式把等式展开后，就可以消项及合并同类项，为了使化简后的方程变得更加简洁，我们引入b2= a2-C2，最终得到中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆标准方程：

因此在教学过程中，教师要多点耐心，给学生留出充分的时间进行观察、思考、讨论、交流，以学生为主体，教师为主导开展教学，教师的“导”要把握好时机，不能过早，也不能太晚，该出手时就出手，但又不能包办代替，而是适时提出启发性的问题来撬动学生的思维，使其能够继续运算下去，同时要求学生能讲清自己选择运算的理由，根据运算目标，灵活运用公式法则，形成运算策略，一定要提醒学生记住形成运算能力的核心是盯住运算目标，根据问题特点选择运算途径，逐步形成合理、简洁的运算意识与习惯，这是提升学生“数学运算”核心素养的关键.

师：你是怎么想到要移项后再平方的呢？

生3：经过仔细观察可以发现等式以的左边两个根号下面的表达式有对称性，因此想到移项后再平方可以消掉很多项.

师：生3说得很好，因此我们在进行运算时，一定要多观察运算对象的结构特点，只有这样才能够准确运用运算法则来解决问题，虽然生1和生3的运算策略不一样，但是两个运算过程中都是反复使用两个公式（x+y）（x-y）=x2-y2和（x±y）2=x2±2xy+y2.

通过师生、生生的互动与交流，使学生经历运算的过程，发现运算的本质，深刻理解运算法则，使他们认识到運算失败的根源是未能有效利用运算法则对代数式进行化简，从而克服对稍显复杂的运算的畏难情绪，同时，还要使学生认识到运算不仅对数学学习很重要，而且对于个人的性格和品质的形成也有重要影响.

正如章建跃先生所说：数学学科核心素养是通过数学学习而逐步形成的具有数学特征的关键能力、必备品格与价值观念，一个平时总是难以集中精神准确、快速、简洁完成运算的人，在做其他事情中，一般也不可能做到认真、严谨，不可能以平静的心态面对任务，而圆锥曲线内容的学习是铸就其品质和提升其“数学运算”核心素养的重要载体.

生4：我有个想法和生1与生3都不一样.

选择③或④中的一个进行平方、化简，即可得椭圆的标准方程.

师：你是怎么想到这种方法的呢？

生4：我记得在学习数列时解过这样一道数列题：已知数列{an}满足an=√n+1-√n（n∈N+），证明：数列{an）是递减数列，为了证明这个数列是递减数列，我们只需要用作差（商）的方法比较的大小即可，对数列{an}的通项公式分子有理化得，显然有.我受到这个题目的启发想到了此法，

问题2 这三种方法谁优谁劣，它们所反映的数学本质一样吗？请分小组讨论、交流.

师：学生5总结得很好，看似三种不同的运算过程，其实所反映的数学本质是一样的，归根溯源就是一个运算法则——分配律，同学们只有在平时的学习中经常思考，不断总结，发现数学本质，才不会畏惧复杂的代数运算，同学们打开课本可以发现，教材中的方法是移项平方，而不是其他两种方法，为什么教材中比较青睐“移项平方”这种方法呢？

问题3 通过以上过程，我们发现焦点在x轴上、中心在坐标原点的椭圆上每一点的坐标都满足方程

作为教师，要把对数学运算的指导渗透在高中数学教学的全过程，因为从认知的规律来讲，数学核心素养的形成不是短时间内集中强化训练就能实现的，当然，一定数量和强度的训练是必不可少的，更需要操作者在实践中去感受、体验、思考、调整、检验、再调整，显然这需要一个较长的时期，因此只有坚持适时渗透指导，才能有效提高学生的“数学运算”核心素养，

参考文献

[1]王尚志，张思明.普通高中数学课程分析与实施策略[M].北京：北京师范大学出版集团，2010

[2]项武义，基础代数学[M].北京：人民教育出版社，2011

[3]沈保兵，将核心素养的培养植根于课堂教学的每个环节——“两条直线的平行”教学实践与思考[J].中小学数学，2016 （11）：20-22