浅析元认知在高考数学解题中的应用

张阳

对于参加高考的学生，经过长期精心的备考，对高中数学的认知水平达已经到了一定的程度，系统掌握了高中数学的各个知识点，各种解决问题的通法，各类数学思想，但在高考的考场中，还需要及时准确地调用出所学的知识、方法、思想来解决问题，这就要求我们实现自我监控、自我提问、自我调节自己的心理活动，从而达到高效准确地调用各种知识储备.

1 初识元认知

美国儿童心理学家J.H.Flavell在1976出版的《认知发展》中最早提及元认知一词，它主要由三个部分构成：元认知知识、元认知体验、元认知监控，在解决问题中，三个部分是一个整体，相互影响、相互促进，其中“元”指“根源、起点、根本要素”，元认知知识是个体对自己掌握知识情况的判断，比如有的学生在做解三角形问题，擅长运用构造直角三角形求解，而有的学生则更喜欢直接应用正余弦定理解决，还有的学生喜欢运用解析几何解决相关问题，这三类学生的元认知知识的反应就有着明显的差异，元认知体验则是伴随认知活动的认知体验或情感体验，在解题中，通过向自己提问“这个问题属于哪种题型”，“该题型的知识点有哪些？常用的方法有哪些？一般它的难度是大还是小？我对这类题型的掌握程度如何”，对条件进行疏理，明确目标，联想到方法、思想后，确定了解题方案，在实施方案过程中，“我遇到了什么困难？障碍有哪些？”，还要开启第三视角提问“目标是否达成？还有没有更好的解决方法？是否有不足之处”等，

元认知中的核心内容是自我提问，通过提问完成体验、监控、调用知识，元认知的作用主要是通过心理调节从而达到高效解决问题.

2 例谈元认知在2018江苏高考中的应用

2.1 2018江苏高考填空题

帕格利（Pugalee）认为，问题解决包含问题的定向、组织、执行、确认等过程，而每个步骤包含着不同的元认知活动，波利亚（Polya）把数学解题历程分为4个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾，喻平老师将解题历程分为问题表征阶段、问题解决过程、解题后的反思3个过程[1]，笔者将这几个过程与平时的教学综合整理为5个过程：审题、联想、方案、执行、回顾，其中审题解决了该题是什么？联想解决了为什么？它主要和知识、方法、思想相联系，用于激活学生头脑中积累的知识内容，它是元认识监控的主要内容，方案阶段是元认知知识在具体问题中的体现，由于不同学生的认知水平不同，他对解决问题的方案也有着不同的选择，这一过程主要是解决了怎么办，执行与回顾是一个完整解题的重要组成部分，它是元认知体验过程，也是内部调节的过程，

以下以2018江苏高考填空题中的第13题为例，进一步说明元认知活动如何帮助我们解题.

（2018年高考江苏卷·理13）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC =120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD =1，则4a+c的最小值为▲ ，

元认知活动的流程为：

（1）审题

是什么——条件是什么？有哪些显性条件？有哪些隐性条件？目标是什么？如何用数学语言表示条件与目标？

显性条件：①三角形中∠ABC =120°：②角平分线BD =1.

隐性条件：①∠ABD= ∠BDC= 60°;②角平分线定理，

目标：4a+c的最小值，

数学语言：图形.

（2）联想

为什么——与哪些概念有关？与哪些知识点相关？常用的方法有哪些？还能与哪部分模块有关？你为什么想到这一模块知识？

概念：角平分线（角平分线定理）.

知识：面积公式S=.

联想：感觉有三角形不确定，但是三角形中角平分线长度与三角形的一个角是确定的，所以想到解析几何（描述变化与定量之间联系的学科）.

（3）方案

怎么办——方案的依据是什么？为什么这样想？它如果执行的话，能预测到哪些问题？这些问题能解决吗？这些方案选择哪一个？为什么？

方案1角平分线定理作为切入点;

方案2面积公式作为切入点;

方案3建立坐标系，从解析几何的角度来思考问题.

（4）执行

我的方案要调整吗？

执行中遇到困难，是坚持还是放弃？

（5）回顾

有什么细节没关注到吗？

书写的逻辑段是否完整？

有无增解或漏解？

2.2 2018江苏高考压轴题

历年来高考的压轴题主要都集中在函数与数列两部分知识，这两部分知识也是大学课程数学主要内容《高等代数》与《数学分析》的基础，所以一直是命题者最为倾心的内容，用元认知助力解题，是一种很好的路径.

（1）审题

是什么——条件是什么？有哪些显性条件？有哪些隐性条件？目标是什么？如何用数学语言表示条件与目标？

（2）联想

为什么——与哪些概念有关？与哪些知识点相关？常用的方法有哪些？还与哪部分模块有关？你为什么想到这一模块知识？

概念：等差、等比数列;绝对值不等式，

知識：恒成立问题，

联想：将不等式恒成立转化为求最值问题.

（3）方案

怎么办——方案的依据是什么？为什么这样想？它如果执行的话，能预测到哪些问题？这些问题能解决吗？这些方案选择哪一个？为什么？

再进一步研究两个表达式的最值，可以选择数列的单调性，也可以利用函数研究数列的单调性.

（4）执行

我的方案要调整吗？执行中遇到困难，是坚持还是放弃？

如果利用函数来研究数列的单调性，就要注意可以通过换元x=n-l，x∈[1，m]来构造函数.

（5）回顾

有什么细节没关注到吗？书写的逻辑段是否完整？有无增解或漏解？

此题多次用到知识的转化，绝对值不等式问题转化为不等式恒成立，再转化為函数求最值，要求学生对相关知识的掌握要到位，同时还要能适时地调用出这些基础知识.

3 元认知在解题中的应用

3.1 影响元认知在解题过程中活动的试题因素

元认知在解题中的应用效果与试题难度正相关，喻平老师在《自我监控对数学解题作业的影响》[2]中研究结论显示：①解题自我监控能力对解答低难度数学问题没有显著影响，对解答中、高难度问题有着显著影响;②解答数学问题中，内部调节比外部调节的作用更大，即有效的内部调节比外部调节更有助于成功地解决问题，

元认知属于一种自我监控、自我体验、自我调节的心理活动过程，这种心理活动将我们引导向正确的审题、联想等问题表征阶段，要求解题者从条件（显性、隐性）、目标理解问题，并用数学语言来表示问题，这里的数学语言主要包含图表语言与符号语言，所以元认知在解题中的应用更多的体现为引导性、启发性、批判性思维，这些思维活动以自我提问开始，自我回答与自我解决问题结束，这类问题的共同特征是问题的难度比较大，属于综合性问题，所涉及到的知识点多，问题的转化比较复杂，高考中一般是填空题最后两题、解答题最后两题的应用较多.

3.2 影响元认知在解题过程中活动的学生因素

学生认知水平影响元认知应用的效果，一定的认知水平是应用元认知成功解决问题的前提，元认知是一种心理活动，在此活动过程中，有一系列的自我提问、自我应答过程，它需要学生能够准确地回答出自己的提问，所以学生的认知水平越高，它的应答能力就越强，扎实的学习功底，完善的知识体系，良好的学科素养是元认知应用成功的保障，如2018江苏高考数学第13题，如果学生不清楚角平分线定理，那么他将无法从该定理入手规划解答方案，

学生批判性思维与质疑能力影响元认知应用的效果，“通过高中数学课程的学习，学生能树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神”[3]，元认知应用的水平也反应在学生自我提问的问题质量，我们可以将元认知的引导性提问归纳为4个方面：（1）是什么？指明学生在数学表征阶段的提问目的，问题的条件是什么？问题的性质是什么？需要解决的问题是什么？ （2）为什么？方案规划阶段，引导学生将面临的具体问题与认知体系中的知识、方法、思想相关联，一般提问，这个问题所涉及到的知识点有哪些？涉及到的概念有哪些？常用的方法有哪些？有哪些数学思想与之相关？有没有横向的知识模块与之关联？有没有更好的解决问题的方案？（3）怎么办？方案实施阶段，此阶段也含有方案的调节，在具体操作中，所遇到的困难能否克服？方案是否需要调整？是否需要执行新的方案？ （4）方案回顾阶段，对自己的方案进行评价，它的优缺点有哪些？还有哪些地方不太满意？如何修改？在今后的学习与解题中能否可以作为解题的模式？

3.3 元认知在解题过程中的具体应用

波利亚给出了数学解题历程，并给出了一些选择规则：“较容易的先于较困难的”、“熟悉的先于生疏的”、“整体先于部分”[4].美国教育学家舍恩菲尔德在此基础，在实施计划与回顾之间加入了“调节”这一环节，整理出解题过程中的自我提问常见问题[3]：所面临的问题是什么类型的问题？选择什么样的解题途径？为什么做出这样的选择？是否理解了题意？对可能遇到的困难是否有清醒的认识？还有其它的更好的解题途径吗？

可以看出，元认知在解题中的应用越来越受到教育家的关注与认可，学生在解决问题时的元认知应用含有5类自我活动：自我提问、自我评价、自我调节、自我监视、自我控制，它深入介入解决问题的各个环节，

参考文献

[1]喻平，数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社， 2010

[2]喻平，自我监控对数学解题作业的影响[J].数学通报.2004 （12）：14-16

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2018

[4]（美）波利亚.数学的发现[M].北京：科学出版社，2001