一类条件代数不等式统一推广的拾遗

李汝雁 郭要红 孟庆利

(安徽师范大学数学计算机科学学院 241000)

文[1]从项数与指数出发，对本刊2009年第8期数学问题1808[2]与2010年第1期数学问题1833[3]进行了如下推广：

(1)

文[4]从指数出发，对上述问题1808、问题1833与本刊2015年第4期数学问题2238[5]给出了如下推广：

定理2设a,b>0，且a+b=1，对任意的正整数m,n(m≥2)，则有

(2)

文[6]从指数与项数入手，给出不等式(1)、(2)的一个统一推广如下：.

(3)

在文[6]的上述定理3的证明中，条件p≥2是必要的，考虑p=1时，(3)式是否成立？我们得到定理3的如下拾遗：

(4)

证明分n=2，q≥3；n=3；n≥4三种情形证明.

(Ⅰ) 当n=2，q≥3时，

其中b0=2q+1-1-(q+1).

当q≥3时，b0>0，

b0+b1=2(2q+1-1)-(q+1)(1+2q)

≤2(2q+1-1)-4(1+2q)

=-6<0，

b0+b1+b2

=3(2q+1-1)-(q+1)(1+2q+2q-1)

≤3(2q+1-1)-4(1+3·2q-1)

=-7<0，…，

b0+b1+b2+…+bq-1

=q(2q+1-1)-(q+1)(1+2q+2q-1+…+22)

=q(2q+1-1)-(q+1)(2q+1-22+1)

=-[2q-1-(q+1)]·22-q-(q+1)<0，

b0+b1+b2+…+bq-1+bq

=(q+1)(2q+1-1)-(q+1)(1+2q+2q-1+…+22+2)

=0.

由b0+b1+b2+…+bq-1+bq=0，得

b0xq+b1xq-1+b2xq-2+…+bq-1x+bq

=(x-1)[b0xq-1+(b0+b1)xq-2+(b0+b1+b2)xq-3+…+(b0+b1+b2+…+bq-1)]

当q=3，因为x∈(0,1)，

b0xq-1+(b0+b1)xq-2+(b0+b1+b2)xq-3+…

+(b0+b1+b2+…+bq-1)

=b0x2+(b0+b1)x+(b0+b1+b2)

=11x2-6x-7

<11x-6x-7

=5x-7<0.

当q>3，因为x∈(0,1)，b0+b1+b2<0,…,b0+b1+b2+…+bq-1<0，

b0xq-1+(b0+b1)xq-2+(b0+b1+b2)xq-3+…

+(b0+b1+b2+…+bq-1)

=[b0x+(b0+b1)]xq-2

<(2b0+b1)xq-2

=[2q+2-2-2(q+1)+2q+1-1-(q+1)2q]xq-2

=[(4-q)-(5+2q)]xq-2<0.

(5)

由(5)式，有

(6)

(7)

将(6)、(7)两式相加，并注意到a1+a2=1，得

(Ⅲ) 当n≥4，因为

而

(8)

(9)

u=n+2n2+…+(q-1)nq-1+qnq，

nu=n2+…+(q-1)nq+qnq+1，

(1-n)u=n+n2+…+nq-qnq+1

v=q-1+(q-2)n+…+nq-2，

nv=(q-1)n+(q-2)n2+…+nq-1，

(n-1)v=n+n2+…+nq-1-(q-1)

w=nq，

w-v

u+v-w

=(q-1)s≥0，

>0.

所以

(由(8)式)

综合(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)知，定理4成立.证毕.