基于数学问题的课堂教学

黎栋材 闻 岩

(1.北京师范大学附属实验中学 100032；2.北京市西城区教育研修学院 100035)

高中数学课程标准指出，要培养学生学会分析问题和创造性地解决问题，使数学教学成为再创造、再发现的教学. 我国在数学问题教学方面号称“解题王国”，但受到应试教育、具体教学操作约束、传统观念等影响，使一些亟待研究的话题还没有引起人们足够重视[1]. 要实现课程标准提出的对学生的培养目标，教师和学生需要共同努力.

本文将从数学教学的核心入手，分析问题意识与数学素养之间的关系，结合笔者在教学中的几个案例，来说明如何在课堂教学中发展学生的问题意识，提升学生的数学素养.

1 数学教学的核心

中学数学课堂，是培养学生数学思维、提高数学能力，也是提升学生数学素养的主阵地. 作为长期在一线任教的数学教师，我们认为，为了能在课堂教学中将培养思维、提高能力、提升素养等落到实处，教师首先要理解数学课堂教学的核心是什么，只有这样，才能在课堂教学中做到目标明确，有的放矢.

1.1 问题是数学的心脏

美国数学家哈尔莫斯说：问题是数学的心脏.1980年美国数学教师协会在《关于行动的议程》中也曾指出，必须把问题解决作为学校数学教育的核心. 我国最新修订的课程标准中也明确指出，数学教学要把提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”)作为教学目标. 足见“问题”的重要性.

纵观国内外的基础教育，各个国家、地区及国际组织都在努力把学生问题解决能力的培养作为基础教育阶段学生素质培养的重要内容和学生终身学习的必备技能.不论是教学目标，还是教学过程，也不论是教学方法，还是教学内容，数学问题都成为当前数学教育研究的重要课题，也成为了国际数学教育的核心和数学教育改革的一种新趋势，而基于数学问题的教学模式也受到越来越广泛的关注和重视.

1.2 数学教学是数学活动的教学

“数学教学是数学活动的教学”是前苏联数学教育家A·A 斯托利亚尔首先倡导的，他认为数学教学是以“数学活动”为主的思维活动的教学. 我国新的课程标准指出：应加强数学与学生的生活经验的联系，从学生熟知、感兴趣的生活事例出发，以生活为依托，将生活经验数学化，促进学生主动参与，使数学课堂焕发生命活力.

数学教学是数学活动的教学，学生在活动过程中理解概念、定理、公式的形成、发展的过程；学生在活动中体会、理解数学的应用价值及文化价值；学生在活动中逐步提高自身分析问题、解决问题以及逻辑推理等各个方面的能力. 从这个意义上不难看出，学生数学素养的提升离不开丰富多彩、能激发学生兴趣的数学活动，形式多样的数学活动是数学教学的必备条件.

2 对问题意识的认识

2.1 问题意识

姚本先教授认为，问题意识是思维的问题性心理品质，是指人们在认识活动中，经常意识到一些难以解决的、疑惑的实际问题或理论问题，并产生一种怀疑、困惑的心理状态，这种心理又驱使个体积极思维，不断提出问题和解决问题[2].

从中我们不难看出，问题意识特别强调认识主体在认识活动过程中所起的作用.一方面，认识主体要有强烈的问题意识，主动地参与到认识活动中，只有这样才能在已有的认知基础上产生困惑、怀疑等心理状态，从而感知到新的问题，重新构建认知体系；另一方面，当认识主体具有较强的问题意识之后，便会不由自主地、主动地对认识活动的过程进行总结、反思，在无形中感知认知冲突、探索相关的未知问题，最终优化认识活动的效果.

在中学课堂，学生是认知主体，在教学过程中，如何培养学生的问题意识，如何在问题意识的驱使下让学生主动并积极参与到认识活动中，如何培养学生在认识活动中自觉反思，逐步提升数学素养，这些是我们必须思考的问题.

2.2 当前学生缺乏问题意识的原因

造成学生缺乏问题意识的原因既有来自教师的，也有来自学生自身的.来自中国青少年研究中心、北京师范大学教育系、北京出版社等机构的专家组成的“我国中小学生学习与发展”课题组对10个省市10—18岁中小学生的课堂上主动提问情况进行了大规模问卷调查，其中“课堂上经常向老师提问”这一问题，小学生占比13.8%，初中生占比5.7%，高中生占比2.9%.不难发现，从小学到高中,学生在课堂上主动回答问题的积极性越来越低.

造成学生缺乏问题意识的主要原因是小学高年级以及中学阶段的教育以传统的知识型教学为主，传统的知识型教学以传授知识为教育目的，过分注重传授知识的结果而非过程与方法，这种教学模式下的师生关系多表现为教师权威、学生服从.另外，通过与一些教师(特别是青年教师)的交流知道，他们的课堂还是以讲为主，不愿或者不敢让学生提问.究其原因，一是怕影响教学进度，完不成教学任务；二是怕提出的问题出乎意料、难以回答，有损尊严和形象. 事实上，教学不是知识的单向传递，而是师生互动、生生互动，共同发展的过程. 所以，教师需要放下自己的身段，摆正自己在课堂教学中的位置，将促进学生的发展放在首位，同时发展自身的专业能力.

2.3 培养学生问题意识，促进数学素养的提升

培养学生的问题意识，教师首先要改变教学观念，让自己具有强烈的问题意识.课程改革，同时也是教师教学观念的改革.教师在备课、课堂教学及教学反思等方面都要有质疑精神，敢于突破传统的教育模式，提出自己独到的见解及教学思路，探索新的教学方式及方法.只有转变了教师的旧观念，教师自己具有了强烈的问题意识，才能培养学生具有问题意识，从而提升学生的数学素养.

教师在教学中，要从学生的生活经验及已有的知识背景出发，创设有趣、有意义的活动，为学生提供充分的从事数学活动及交流的机会.通过形式多样的问题情景，制造学生的认知冲突、激发学生探究新知的欲望、诱发学生的问题意识，引导学生逐步用数学的眼光观察周围的世界，使学生感到有问题要问，有问题值得问，有问题值得继续研究，这样逐步提升学生的数学素养.

有研究者认为，根据教材设置一些难度适中，具有可研究的开放题是实施教学内容开放的有效手段[3].开放题，可以是条件开放，也可以是结论开放，甚至还可以是条件和结论都开放.在解决开放题的过程中，学生不必拘泥于某种固化的、规范化的思维模式，从而利于培养学生的发散性思维，提升学生的数学素养.

爱因斯坦认为：提出一个问题往往比解决一个问题更加重要.从数学的角度，解决一个问题可以借助感觉、经验及一些技巧，而提出一个新颖的、有创造性、具有研究价值的问题，提问者必须站在系统的高度，从整体出发，这对提问者的各个方面的能力、素养都提出了更高的要求.目前，在中学数学教学中存在的主要弊端还是表现在重知识、轻能力，重分数、轻素养上. 因此“强化问题意识、培养数学素养”的教学是克服以上弊端的好方法之一[4].

3 基于数学问题教学的两点建议

3.1 在教学过程中有目的、有意识、有计划地培养学生的“问题意识”

让学生具有问题意识，不是一朝一夕就可以做到的，这是一个循序渐进的过程. 教师在进行教学设计的时候就应该统筹考虑，有目的、有意识、有计划、有针对性地培养学生问题意识.开始阶段，可以是教师提问题，学生解答；慢慢地，在教师的引导下，让学生自己提问题自己解答；最后做到学生自己发现问题，自己提出问题，自己解决.

案例1在高一上学期学完基本初等函数1之后，给学生留了思考题：

学生借助函数y=f(x)的图象(如图1)，得到方程f2(x)+bf(x)+c=0有七个不同的实数根的充要条件是b<0,c=0. 如果就此打住，定会失去培养学生问题意识的良机.我们顺势提出下面的三个问题：

图1

问题1：讨论方程f2(x)+bf(x)+c=0根的情况，并指出其成立的充要条件.

问题2：若方程f2(x)+bf(x)+c=0有八个不同的实数根，则它们的和是多少？

问题3：若y=f(x)是一个二次函数，请提出一个以“方程f2(x)+bf(x)+c=0根”为背景的问题.

数学教育就应该把培养学生的数学思维能力放在首位，不但要使学生掌握适量的数学知识，而且还要让学生在经历问题解决的过程中提高学会提出问题与解决复杂问题的能力，为继续学习并成为终身学习者打下良好的基础. 案例1中提出的三个问题，不但可以让学生深刻认识此题，抓住其核心，找到解决问题的突破口，还能一题多用. 问题1深入讨论了该方程根的情况，学生不但要关注二次方程t2+bt+c=0根的情况，还要关注f(x)=t的根与t的正负之间的关系；问题2需要学生具有敏锐的观察力，发现函数y=f(x)的图象具有对称性；问题3更具有开放性，更具有挑战性.这些问题的提出，不但有利于培养学生自身的问题意识，还可以提高学生解决问题的能力，在解决问题的过程中发展数学素养.

案例2在学习完“圆的方程”后，有三个学生一起找到老师，说要汇报一下他们的数学兴趣小组近阶段的研究成果.

他们从单位圆x2+y2=1入手，首先研究x4+y4=1的性质，进而研究曲线An：

x2n+y2n=1，(n∈N*,n≥2)

并得到更加一般的结论：

(1)曲线是封闭的，其面积大于π，且|x|≤1,|y|≤1；

(2)曲线具有对称性.x轴、y轴、直线y=x、直线y=-x是其对称轴，原点是其对称中心；

(3)曲线An在直线x=±1,y=±1所围成的正方形内；

学生从圆的方程的形式入手，自己提出问题自己解决. 学生认为这个研究还可以继续深入下去，如研究曲线(x-a)2n+(y-b)2n=1(n∈N*,n≥2)、x2n+y2m=1(m,n∈N*,m≠n)等的性质.

在教学过程中，数学问题无处不在、无时不在，可以在知识的起始阶段，也可以在知识获取的过程中. 所以，数学问题的提出贯穿整个学习过程，其提出也并非由教师“包办”，当学生的问题意识、研究意识达到一定的程度后，就可以自己提出，用数学问题驱动教学也是培养学生问题意识的一种很好方法.

3.2 以“问题链”的形式组织教学，培养学生的问题意识

采用问题链的教学方式是导学理念下的一种有效的教学方式，受到很多中学教师的重视. 问题链的有机串联，有效地克服了课堂教学中某些问题的细碎、离散、随意等不足，不仅能更简洁有效的驱动教学，还能让学生在解决系列问题的过程中学习和提炼知识并获得解决问题的技巧策略[5].

案例3两轮高三复习“自我同课异构”课

在上一轮高三教学圆锥曲线时，教师以一道高考试题(2013年广东理科卷第20题)为依托，采用问题链的教学形式，逐步、有层次地探究出“抛物线的极点、极线及其它们的依存关系”[6].而这一届高三复习时，问题链则由学生自己提出并串起来.

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ) 当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程；

(Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

以下是得到直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0后的教学片段.

图2

学生A：由于P(x0,y0)在直线x-y-2=0上，所以x0-y0-2=0，于是直线x0x-2y-2y0=0中的x0,y0消掉某一个后，可以发现直线过定点(2,2)(为方便叙述，将其记为Q)，如图2.

在学生A讲完之后，给了学生大约15分钟自己思考的时间.随后，一个接一个的问题被提了出来：

问题1：如果点P为直线l:x-y-2=0上的动点，直线AB是否仍然过(2,2)？

问题2：该结论的逆命题是否成立？为什么？

问题3：是否具有更加一般的结论？

问题4：直线l和定点Q之间究竟存在怎么样的关系？

这些问题的提出，几乎已经逼近了“抛物线的极点、极线及其它们的依存关系”.教师的作用就是引导学生将这些问题一一击破！这堂课的设计虽然与三年前完全不同，教师的参与度也大大降低，但是从教学效果来看，却优于上次.究其原因在于学生的问题意识增强了且具有了很强的解决问题能力，这些也正是提高学生课堂参与度的保证.

教学是一个循序渐进的过程，是使学生的知识不断增加、深化的过程，也是使学生能力不断提高的过程；结论、方法的获得固然重要， 但过程更

重要. 引导学生在过程中不断拓宽加深、完善提高，培养探索、创新能力，才是我们教学的真正目的[7]. 随着笔者对教育本真的理解，在教学的过程中时常把最精彩、最出彩的部分留给学生，不但可以激发学生的学习兴趣，还能培养学生的钻研精神，在潜移默化中提升学生的数学素养.

我们认为，基于“数学问题”的课堂教学有三个层次，一是提高学生的解题能力，二是提高学生的思维能力，三是提升学生的数学素养. 基于“数学问题”的课堂教学以提高解题能力为基础，以提高学生数学素养为最终目标，这同时也是实现教育目标的有效途径. 以“问题”为中心的教学，可使学生在问题解决的学习过程中养成终生学习的习惯，提高独立思考的能力，尤其有利于发展学生的创造性思维.而基于问题解决的数学课堂教学重视学生在数学问题解决过程中的体验过程，关注他们在学习活动过程中所表现出来的情感态度价值观，尊重学生的个性，这些教育理念也与新时代对人才的要求不谋而合.