潜心重构教材摆脱建构窘境的实践与思考

2019-04-09吕学柱

数学通报 2019年2期

吕学柱

(江苏省灌南高级中学 222500)

在使用高中数学教材进行知识建构的教学和教研中，时常会接触到“建构思路不自然”、“思维展开不流畅”、“求知欲望不强烈”、“似懂非懂”以及“学完尚存困惑”等教学现象.这些现象极易让教学陷入窘境.其成因主要来自知识本身难度的影响，学生认知水平的不足，教材与教学的脱节，教师研究不深、重视不够、方法不当等等.而诸多因素中教师是解决问题的关键因素.笔者经过深入的学习、研究、实践与思考，认为可采取适当的教学策略重构教材，摆脱知识建构窘境.现将心得呈现，作为引玉之砖.

1 铺路搭桥打通联系让知识自然生长

奥苏贝尔认为“影响学习最主要的因素是学生已知的内容，弄清了这一点之后，再进行相应的教学.”只有当学生学习的新知识与其原有的认知相联系，才能产生有意义的学习，进而形成新的认知结构.这种联系越畅通，形成新的认知结构越自然、越稳固.有些新知识与相关旧知识之间跨度较大，如果教师一味地“教教材”，不重视知识形成过程的教学，只能把新知识强行灌输给学生，学生当然会感觉生硬、难以接受.教师只有注重知识形成过程的教学，在深入研究教材和学情的基础上，创造性地重构教材，通过铺路搭桥、适当铺垫，打通已有认知与新的认知之间的联系，才能让新的认知成为在原有认知基础上的自然生长.

如“任意角的三角函数”一节，学生已有认知是初中学过的锐角三角函数，新概念形成是本节的难点，这一难点的形成因素较多，抓住关键因素才能高效地消除疑难，并从根本上摆脱教学窘境.有的教师认为“坐标系引进”是关键因素，其教学设计则在坐标系引进的自然性上下功夫.有的教师认为“函数观点认识新概念”是关键因素，其教学设计则在“三角函数是角为自变量的函数”上做文章，着力于“比值与终边上点的位置无关”.笔者经过学情调查及分析研究后认为，“坐标系引进”并非关键因素，在“任意角”的学习中已经将坐标系引进.对于普通的学生来说不构成障碍，教师无需在此发力.至于“函数观点认识新概念”，教材内容已经足以解决，教师无需在此费力.真正的关键是如何打通从“锐角三角函数”到“任意角的三角函数”的联系.使学生跨越从“边长比”到“坐标比”之间的这道坎.笔者以苏教版教材为基础[1]，汲取人教A版教材的养分[2]，对教材进行重构，将任意角的三角函数定义及三角函数线进行整体设计形成如下教学片断.

案例1“任意角的三角函数”教学片断

师：在平面直角坐标系中，P(x,y)为任意角α终边上的一点，|OP|=r>0.(即原点O为圆心r为半径的圆与终边交于P).则(r,α)和(x,y)均可确定点P的位置，怎样用数学模型刻画二者之间的关系？在什么情况下二者关系我们容易研究？

师：从“边长的比”到“坐标的比”对于α为锐角是没有问题的，α超出了锐角的范围，坐标未必是正数，边长之比就没有普适性了.比如α为钝角，已学的锐角三角函数定义不再适用.看来需要对“锐角三角函数定义”重新认识.对锐角而言，沿着终边从O到P行程r，邻边OM和对边MP分别为行走产生的水平位移(x轴方向上)和竖直位移(y轴方向上)，锐角三角函数定义中的邻边和对边分别是水平位移和竖直位移(此处位移为正，与边长一致).下面我们看看钝角三角函数，情况如何？

师：按照“位移”的想法，对于第一象限、第二象限的角锐角三角函数定义可以推广吗？第三象限角、第四象限角以及坐标轴上的角，情况又如何？

生：(略加思考后)依然可以，锐角三角函数定义可以推广到任意角的情形.

师：这样任意角的三角函数定义就形成了(师生共同给出定义).如果不用两个量的比，而只有一个量你能表示三角函数吗？如何表示？

生：这个容易，分母为1就可以了，r=1，正弦、余弦分别是y和x，也就是位移MP和OM，正切是y(x=1时).

(教师引导对正切的情形进行修正，可准确自然地建构三角函数线的知识，限于篇幅不再展开)

注将“边长”改造成“位移”，架起了“锐角三角函数”与“任意角三角函数”之间的桥梁，再将“位移”轻松改造成 “有向线段的数量”，“三角函数线”也就水到渠成了.这样一来，任意角三角函数和三角函数线都成了在锐角三角函数基础上的自然生长.

2 因势利导整合方法让思维流畅展开

发现法作为一种严格意义的教学法是由布鲁纳(美国心理学家)在《教育过程》一书中提出的.这种方法要求学生在教师的引导下能象科学家发现真理那样，通过独立思考去探索新知识，从而发现新知识的奥秘.而高中数学新知识的绝大部分是可以让学生在适当条件下“发现”的，这就决定了发现法在高中数学知识建构中所处的突出地位.

在教学中如果教师一味“认准”发现法甚至其中的具体方式，不加整合，不善变通，则会造成学生思维受阻、课堂效益低下的尴尬局面.因此，在运用发现法进行教学时教师必须因势利导，从直觉感知、归纳猜想、类比迁移、逻辑推演等“发现”方式中适当选择，与其它教学方法有机整合，并结合学情重构教材，才能让学生的思维流畅地展开，获得满意的教学效益.

案例2“二项式定理”教学片断

师：我们已经知道：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,试计算 (a+b)4和(a+b)5，你能发现什么规律吗？

生：容易发现展开式的项数比指数多1，各项次数与指数相同，按a降幂排列，系数对称，两端系数为1等等.

(师生互动，系数列出后形成三角形即“杨辉三角”，系数规律尚不透彻.)

师：既然归纳法不能完成一般规律的发现，我们不妨换换方法.(稍顷)我们来演绎一下怎么样？ (a+b)n是(a+b)自乘n次，看系数是怎么产生的，还是没辙.不妨再“退”到简单的情况.

师：很好！(a+b)n展开式中an-rbr系数是什么？为什么？

师：非常好！现在我们就完成了一般规律(二项式定理)的发现，并且也获得了推导.这个规律是伟大的数学家(物理学家)牛顿在1664年发现的，而杨辉三角首见于南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书，在欧洲称为帕斯卡三角(1654年发现)，牛顿的发现距帕斯卡三角10年，距杨辉三角400多年.难怪我们的探究道路曲折.

注二项式定理的建构如果一味采用归纳法，将杨辉三角中的数据改为相应的组合数呈现给学生，表面上看教学程序流畅了，但这个发现明显是老师灌输的，是“伪发现”.如果一味地采用演绎法，学生会感觉不自然，很生硬，探究热情不高，课堂效益低下.要让学生的思维流畅地展开，必须进行教材教法的整合.

3 循循善诱植入文化让素养悄然提升

课程标准指出：数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应当适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神[3].“体现数学的文化价值”不仅符合新课程的基本理念，在知识建构中有时可以发挥无可替代的作用.

比如“数系的扩充”一节，教材(苏教版选修2-2)介绍了社会需要及数学内部矛盾两个方面在数系扩充过程中的作用，做到了科学性与量力性的有机统一，较好地体现了数学的文化价值.尽管如此，如果照本宣科“教教材”，学生对“虚数”还是存在排斥、疑惑等负面情绪，而且缺乏学习激情.有的教师认为数学史上数学家是在解三次方程中“发现”虚数的，教学中沿着历史上数学家的足迹“急速行走”，学习激情上升了，但排斥、疑惑等负面情绪犹在，而且由于学生对当初数学家所用的三次方程解法一无所知，教学中反而平添了一个疑点.只有按照“学情”对教材和数学史进行整合重构，才能借助数学文化的力量，促进新知识的建构,促进数学素养的提升.

案例3“数系的扩充”教学片断

教师：甲的做法中假如x存在，其结果应该是对的，x一定是超出实数范围的一种“新数”，这种“新数”会是什么样子呢？

教师：大家阅读教材，并对数的概念的发展和数系的扩充过程进行回顾和归纳.

(在师生互动中引入虚数单位、虚数、复数的概念，实现数系的新的扩充)

教师；我们用分分钟的时间，就发现了“虚数”，真是了不起.公元前500年古希腊数学家希伯斯发现了无理数之后，数学家对于数的研究大约2000年未能突破实数的范围.1484年，法国数学家在解二次方程x2+4=3x时，结果用到负数的平方根，但仍声明这是不可能的.到1545年，意大利数学家在解三次方程时得到类似的结果，引入负数的平方根，并称它为“诡辩量”.后来，经过笛卡尔、欧拉等数学家的努力，到1837完成了从实数系向复数系的扩充.这项工作历经近300年才得以大功告成.如果让我们穿越“时空隧道”进入“16世纪欧洲”，我们都会是世界一流的数学家.我们用一节课解决那个时代世界顶级数学家百年的困惑，如果我们还有点困惑算得了什么？再用几节课，我们在领略经过近300年形成的“复数”的风光中，将会不断消除困惑，享受怡人美景.

注由简单问题引发学生的认知冲突，认识数系扩充的必要性，提高数学探究的热情.适当植入数学文化带给学生探索精神和奋斗动力，帮助学生增强信心、消除疑虑、提升素养.

4 再造情境激趣导入让建构畅快淋漓

教材对情境设置有生活的、历史的以及学科知识的等多种背景.尽管如此，在教学中如果教师不能对它进行改造，常常与学生的生活、认知及情感脱节，不利于学习内驱力的激发和新知识的建构.教师只有根据“学情”和学习目标，再造情境，才能激发学生的学习兴趣，让知识建构畅快淋漓.

案例4“等比数列的前n项的和”教学片断

教材(苏教版必修5)中未设置情境，教师通过讲述古印度国王西拉谟奖励国际象棋发明者的经典故事，引发学生认知冲突，激发学生探求新知识的热情.

教材中对公式的推导只提供了“错位相减法”，缺乏研究的教师也只能“教教材”，这样产生的结果是知识和方法基本学会了，而“思路不自然”、“ 生硬”成为好多学生的内心感受.究其原因是这种方法与学生原有的认知脱节.笔者作如下处理.

教师：Sn=a1+a2+a3+…+an，如何用基本量表达Sn？(稍顷)看来由于特点不同，等差数列的求和方法失效了.怎么办？看特点！(适当启发)

生甲：Sn=Sn-1+an，Sn=a1+qSn-1,解方程组可得.(师生互动，分类讨论，逐步完善)

生乙：Sn=a1+qSn-an+1,解方程就可以了.(完善方式同上)

教师：抓住式子的特点，运用常用数学思想(方程思想)，用自己的智慧获得了公式及推导，非常好！我们再看看教材是如何推导的.(阅读、交流后，教师点评)其实同样是抓住式子的特点，只是表达形式不同而已，教材方法非常经典，称为“错位相减法”，我们应当学会使用.(至此，新知识顺畅建构，生硬感瞬间消失)

5 多元表征变式深化让过程锦上添花

所谓知识的表征，是指人在自己的工作记忆和长时记忆中对信息的贮存、表示和再现方式.数学多元表征大致分为言语化表征和视觉化表征，前者如符号表征、文字表征等，后者如图形表征、情境表征、操作表征等.多元表征指通过多种形式的表征及各表征之间的转换，帮助学生对知识进行多角度、多层面认识，从而优化已有的认知图式.变式教学作为我国数学教育的优良传统在某种程度上与多元表征不谋而合[4].在概念学习中学生如果不能从多角度、多背景深入理解概念，那么一旦换一个侧面去阐述同一个概念，他们就会不知所云.同样，在命题学习中，如果学生没有完善的命题域和命题系，那么在解决问题时他们就不能及时有效的调用适当的模式，从而使欲解决的问题难度加大，甚至无法解决[5].由此可见，在高中数学知识建构中多元表征和变式教学是不可或缺的.

案例5“基本不等式”教学设计要点

基本不等式有多种表征形式，主要有下面几种.