矩阵秩的两种定义

李逸然

(青岛中学 266111)

数域F上的矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念.在高等代数和线性代数的教科书里，可以发现矩阵的秩有两种定义，其中第二种定义非常普遍，第一种则较少出现.这两种定义是等价的，且各有优劣.

上述定义及其等价性要用到矩阵的三种初等变换：1)交换矩阵的两行(列)；2)将矩阵的某行(列)乘以一个非零常数；3)将矩阵的某行(列)乘以一个常数加到另一行(列)上.初等变换可以看作左乘(行变换)和右乘(列变换)初等矩阵得来.

矩阵秩的定义方式Ⅰ 数域F上的任意一个m×n矩阵A都可以通过一系列初等变换化成下述形式的矩阵：

非负整数r叫做矩阵A的秩，记作rank(A)=r.在这里，非负整数r是由A唯一确定的，与初等变换的方式无关.

因而定义基于对A施行一系列初等变换，以及所有变换结果中非负整数r的唯一性.

不难证明，对于任意m×n矩阵A，经过一系列初等变换可以写作左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，化成标准形式即

(1)

问题在于，如果有另外一系列初等变换使得

(2)

我们是否有s=r呢？如果没有，定义就无法成立了.

定理1在(1)(2)两式中r=s.

证明将(2)式中的A用含Λ的表达式带入，得到P′P-1ΛQ-1Q=Λ′.记P(P′)-1=G,Q-1Q′=H,于是有GΛ′=ΛH,其中G、H分别是m、n阶方阵.将G、H适当分块，使得两边的分块矩阵能够做乘法，并且乘积的分块一致：

(3)

(4)

(4)中的矩阵至少有一列为0，是不可逆的，与X、G、Y都是可逆矩阵矛盾.证毕.

矩阵秩的定义方式Ⅱ 设A为数域F上的一个m×n阶矩阵.k为正整数，不大于m与n中的较小者.在矩阵中任意k行和任意k列交点处的元素组成一个k阶方阵.这个方阵的行列式称为矩阵A的一个k阶子式.

在数域F上的一个m×n阶矩阵A中，非零子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rank(A).

引理2设A是数域F上的一个m×n矩阵，

进行一次初等变化后得到矩阵B.则A与B中非零子式的最大阶数相同.

定理3矩阵秩的定义Ⅰ和Ⅱ等价

在定义Ⅱ中，由于非零子式的最大阶数是唯一确定的，定义的唯一性毋庸置疑.缺点是定义的出现需要在行列式讲过之后，而且不大直观.