关于平行线理论的探讨

徐成照

[摘   要]著名的平行线理论是《几何原本》的主要内容之一，应用极为广泛.它在几何史上争论时间最为长久，争论最为激烈，至今还没有一个满意的结果，主要是缺乏有效的证明.探讨平行线理论的正确性，对于开阔教师视野，提高教师素质具有积极的现实意义.

[关键词]平行线理论;判定方法;性质

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0013-02

现行初中数学教材给出了平行线的三个判定方法和三个性质.简言之，判定方法一：同位角相等，两直线平行.判定方法二：内错角相等，两直线平行.判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.性质一：两直线平行，同位角相等.性质二：两直线平行，内错角相等.性质三：两直线平行，同旁内角互补.

由于以上的判定和性质都不具备不证自明，却给不出证明，因此直接把它当作定理来使用，作为下一步的证题依据，显然是不可取的，是没有说服力的.本文采用初等数学知识来探讨平行线理论的正确性，有助于学生更好地理解平面几何的基础知识，也能给教师的教学提供有益的参考.

引理：同平面两直线，从一直线任取不同两点，过该两点均向另一直线作距离，两直线必在距离小的一侧相交.（如图1）

判定方法1：同平面不重合两直线，若一直线上的不同两点到另一直线的距离相等，则两直线平行.

已知L1与L2是同平面不重合的两直线，AB、CD是L1与L2间的任意两段距离，且AB = CD，求证：L1平行L2 .

证明：如图2，假设L1与L2相交.（1）假设L1与L2在AB一侧相交，根据引理，AB小于CD，這与AB = CD矛盾.

（2）假设L1与L2在CD一侧相交，根据引理，AB大于CD，这与AB = CD矛盾.

因此，假设L1与L2相交不成立，所以L1平行L2.

判定方法2：同位角相等，两直线平行.

证明：如图3，在正方形ABCD中，延长BA至E，∠EAD=180°-∠BAD =180° - 90° = 90°，∠ABC = 90°，所以∠ABC = ∠EAD.又因为AB = DC，根据平行线的判定方法1，AD平行BC，所以同位角相等，两直线平行.

判定方法3：内错角相等，两直线平行.

证明：如图4，在正方形ABCD中，连接BD，AB = DC、AD = BC、BD = BD，所以△ABD [?]△DCB，故∠ADB = ∠DBC.又因为AB = DC，根据平行线的判定方法1，AD平行BC，所以内错角相等，两直线平行.

判定方法4：同旁内角互补，两直线平行.

证明：如图5，在正方形ABCD中，∠ABC + ∠BAD = 180°，又因为AB = DC，根据平行线的判定方法1，AD平行BC，所以同旁内角互补，两直线平行.

平行线的性质1：两平行线间的距离处处相等.

已知L1平行L2，AB与DC是L1与L2间的任意两段距离，求证：AB = DC.

证明：如图6，假设AB不等于DC，（1）假设AB大于DC，根据引理，L1与L2在DC一侧相交，这与L1平行L2矛盾.（2）假设AB小于DC，根据引理，L1与L2在AB一侧相交，这与L1平行L2矛盾.因此，假设AB不等于DC不成立，所以AB = DC.

平行线的性质2：两直线平行，同位角相等.

证明：如图7，因为AB = DC，根据平行线的判定方法1，AD平行BC.

又因为∠EAD = 180° - ∠BAD = 180° - 90° = 90°，∠ABC=90°.因此，∠ABC = ∠EAD，所以两直线平行，同位角相等.

平行线的性质3：两直线平行，内错角相等.

证明：如图8，因为AB = DC，根据平行线的判定方法1，AD平行BC.

又因为AB = DC、AD = BC、BD = BD，所以△ABD [?]△DCB，∠ADB = ∠DBC.

因此，两直线平行，内错角相等.

平行线的性质4：两直线平行，同旁内角互补.

证明：如图9，因为AB = DC，根据平行线的判定方法1，所以AD平行BC.

又因为∠ABC + ∠BAD = 180°，所以两直线平行，同旁内角互补.

平行线的传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行.

已知：L1平行L2，L1平行L3，求证：L2平行L3.

证明：如图10，在正方形ABCD中，AB边上取点E，DC边上取点F，使得AE = DF，连接EF.因为AB = DC，所以L1平行L3.因为AE = DF，所以L1平行L2.又因为EB = AB - AE、FC= DC - DF，所以EB = FC，所以L2平行L3.

平行线传递性的推广：平行于同一直线的所有直线互相平行.

已知：L平行L1，L平行L2，L平行L3，…，L平行Ln，求证：L平行L1平行L2…平行Ln.

证明：如图11，在直线M上依次取点M，M1，M2，M3，…，Mn，过以上各点分别作直线M的垂线，垂线依次为L，L1，L2，L3，…，LN.（n属于N）

从以上作图可知，所有直线的同位角都相等，或任意两直线的同旁内角互补，根据平行线的判定方法2或方法4可知：L平行L1，L平行L2，L平行L3，…，L平行Ln.再根据平行线的传递性可得：L平行L1平行L2平行L3平行…Ln.

平行线的作法1：根据平行线的性质1作已知直线的平行线.

已知直线L1，作L1的平行线.

作法：如图12，（1）在已知直线L1上任取两点A、B.过A、B依次作L1的垂线m、n.

（2）以A为圆心、AC为半径画弧交m于点C，以B为圆心、AC为半径画弧交n于点D，且C、D在L1的同侧.

（3）连接CD，并向两端延长成L2，L2就是所作平行L1的直线.

平行线的作法2：根据平行线的性质2及性质4作已知直线的平行线.

已知直线L1，作L1的平行线L2.

作法：如图13，（1）在L1上任取点A，过A作L1的垂线m.

（2）在m上任取点B，过B作m的垂线L2，L2就是所作平行L1的直线.

平行线的作法3：根据平行线的性质3作已知直线的平行线.

已知直线L1，作L1的平行线L2 .

作法：如图14，（1）在L1上任取A、B两点，过A作∠BAC.

（2）过C作∠ACD，使得∠BAC = ∠ACD，延长CD成L2，L2就是所作平行L1的直线.

综上所述，平行线理论是能够给出合理证明的.平行线是绝对存在的，“不存在绝对平行线”的说法是不科学的、不正确的.

（责任编辑 黄桂坚）