浅析关系映射反演方法的教学

孙婷婷

[摘   要]通过对关系映射反演方法基本概念的介绍，探讨关系映射反演方法在中学数学教学中的教育价值，并结合具体案例浅析如何阶段性地培养这种数学思想方法.

[关键词]关系映射反演;数学思想方法;教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0005-02

一、 关系映射反演方法的概念

关系映射反演方法是数学中一个极其普遍的方法.数学学科里的各个结构系统一开始基本上是独立发展起来的，后来，研究者察觉到其中一些系统之间有着诸多的联系，有的甚至还可以一一对应起来.于是，寻找、构思这类系统间的对应联系.例如，古希腊人就喜欢用长度表示数，并把一些代数运算映射到长方形面积上，得到了以几何术语表示的一系列代数恒等式.

关系映射反演方法的基本含义可以用框图表示如下：

二、关系映射反演方法在中学数学中的教育价值

1.提高对数学整体的认识

数学知识并不是孤立存在的，中学数学教科书中的每一个章节，看似独立，实际上都有着紧密的联系.例如，数学知识中的函数、方程与不等式，指数与对数，复数的概念及其几何意义，解析几何，等等.数学方法中的数形结合法、复数法、参数法等，都体现了关系映射反演的原则.中学数学涉及许多数学系统领域，从关系映射反演的角度来看，这些数学系统间的同构与对应，是关系映射反演的基础，极大地丰富了数学方法.对关系映射反演方法的掌握也有助于学生构建一个完整的、互相联系的数学知识体系.关系映射反演方法就像一张网，将中学数学中的不同分支、不同内容编织在了一起.如果学生能够很好地认识和理解这个方法，不仅能够感受数学的整体性和联系性，还能够触类旁通，主动建立更多的联系，编织一张更大的网.

2.提高数学应用能力

我们遇到实际问题的时候，一般都是先解读信息、分析事物间量与形的关系，再用数学逻辑演算作出解答，这就是映射的过程.相较于数学模型方法，关系映射反演方法更强调实际问题中的关系属于哪种类型，然后再去寻找与之相对应的数学模型去刻画，这样可以使问题更加明了，接着通过数学结论反演到实际中去，能够让学生养成完整解决问题的习惯.

3.提升多方面的思维能力

关系映射反演方法对思维能力的培养体现在问题解决的过程之中;寻找合适的关系结构，建立对应关系和运算，在另一关系结构中构建出问题的合適模型，同时要注意这样的映射是否有缺陷（例如，直角坐标系上的点到极坐标上的点的映射，其间的一一对应并不包括原点，故原点需另行检验）.这一过程需要学生既有整体思考、有大局观，又不遗漏部分的性质，形成严谨思考的习惯.关系映射反演方法的运用中，“定映”（即寻找合适的关系结构）这一步最难，但对学生的发散思维和可逆思维的培养有着很大的教育价值.

三、关系映射反演方法教学的阶段性简析

学生头脑中的数学思想方法到底是怎么形成的呢？如何有针对性地加以培养？我们知道，数学思想方法可以分为许多层级，有些比较具体，可以正面阐述，或者加以充分展现，通过练习使之升华，但是有些如同关系映射反演方法这样的比较抽象，且涵盖了比较多的数学知识的思想方法，就必须长期领会，点点滴滴地积累才能体现其中的奥秘.在这里，我们借鉴张奠宙先生对培养数学思想方法的一些思考，将渗透关系映射反演方法过程分成四个阶段.

1.隐性的操作感受阶段

该阶段是指学生初步接触一些数学知识，属于“顺向思维”阶段.这一阶段，学生刚学习了一些数学概念、定理等基础知识，获得了一些基本技能，尽管这些基础知识和基本技能的后面蕴藏着数学思想方法，然而学生的注意力往往在基础知识的显性一面.教师在这个阶段的主要教学策略是“让学生探索、构建与掌握知识与技能”，至于背后的数学思想方法应属于“无声语言”，由学生自己在探索、构建与掌握知识中感悟.

这是小学数学“两点之间的连线中，线段最短”的教学中时常出现的例子.计算正方体表面两点之间的距离属于立体几何问题，超出了小学生的能力范围，但是受所学知识的影响，大部分学生能够比较自然地想到将纸展开，这样就变成了之前已经解决了的问题.这种朴素的想法本质上就是将问题从立体几何映射到平面几何，在平面几何系统中解决这个问题以后，再反过来求得原问题中立体几何问题的解决.这种无意识地使用关系映射反演方法的

行为可以追溯到更早的时候.例如，在学习减法“5-2”时，通常都是这样一个思路：找一个数“？”，让“2+？= 5”.这里本质就是将减法映射成加法来运算;又如，在学习整式加减运算时引入了同类项的概念，将多项式的加减映射为有理数的加减.诸如此类的例子还有许多，在此不一一列举.

在这个阶段的教学中，教师不需要提及“关系映射反演”这个词语，只需放手由学生自主探索和建构.在经历了一次又一次“润物细无声”的反复渗透后，学生也能初步体会该数学方法的基本指导思想，即将新问题转化成旧知识，同时感悟数学知识、方法之间的紧密联系.

2.正面的认识和理解阶段

尽管我们给了学生一个“隐性的操作感受阶段”，但由于学生的年龄特征及知识和能力的局限，如果没有进行必要的点拨，他们也很可能无法“感悟到”知识背后的一些数学思想方法，所以教师应该适时点拨，通过数学知识的传授或数学问题的解决，采用显性的文字或口头语言“道出”一些数学思想方法，并对学生有意识地训练，这个阶段称为“正面的认识和理解阶段”.这个阶段的导向性比较明显，是将内隐性较强的数学思想方法显性化传输的时期，也可能是学生有意识地“知觉”的阶段，是学生对数学思想方法感悟和学习的重要阶段.

以解析几何的教学为例，椭圆这一节是用解析方法研究一个新的曲线，主要知识点有：“椭圆”的定义，由定义到方程，由方程再回到几何图形的性质.那么，为什么要按照这样的知识脉络进行教学呢？此时，教师有必要正面显化背后所隐藏的思想方法.在解析几何中，利用坐标系建立了平面点集（几何结构）与二元有序实数组（代数结构）之间的对应，这样，就把几何问题整体性地映射成代数问题了.通过这种方法的渗透，学生把握住了每一环节的意图所在，从而对本章结构有了清晰的认识，在接下来双曲线、抛物线的学习中也能更加得心应手.

3.主动运用的训练积累阶段

数学思想和方法贯穿于中学数学的整个教学过程之中.每个概念的引出、命题的证明、问题的求解，无不需要运用一定的思想方法.这时，数学方法需要有意识地培养.教师在这个阶段的教学行为需要有明显的导向性，不仅使用显性而明确的语言概括出数学活动中的数学思想和方法，还需要设计一些问题进行训练，强化学生运用这种思想方法的意识.当然问题并非越多越好，需要结合这种数学思想方法的特征，把握其本质.

关系映射反演方法的重要特点在于它的一般性，主要体现在它不只是解决某些具体的问题，例如三角函数问题中经常使用到的映射有方程、不等式，当然向量也同樣适用.因此，某一知识与其他知识转化越多，可能寻找的途径也越多，如此就能解决更多类型的问题.因此在该方法的教学中，教师应当尽可能地鼓励学生不要局限于一种思路，应进行多角度的转化.

这个问题直接证明有一些困难，考虑使用关系映射反演方法将其转化成更容易解决的问题，可以有如下两种思路.

（1）映射成几何问题

这个例子说明，对于同样的问题，尽可能多地去寻求与问题相关的元素、情境是非常重要的.即使学生一时难以想全面，教师在总结阶段也应对这种方法进行多角度的提炼，以引起学生的重视，这样才能起到深化这一数学思想方法的目的.

4.感悟文化修养的阶段

经过长期的数学思想方法教学，学生的头脑中已经有了许多积累，这时我们需要进行适当的总结，将思想方法提升为学生的文化感悟，乃至宝贵的文化素质.

在经历了对关系映射反演方法的深入学习后，我们可以先试着将眼光放到日常生活中去，温度计将气温的测量变换为水银柱胀缩的测量，机械钟表把时间的测量变换为钟摆的周期运动的度量.从数学的角度看待这些充满智慧的设计会发现，这实质上就是把一个领域、一个关系结构中的问题映射到另一个领域、关系结构中去加以解决.此时，学生会意识到关系映射反演方法并不是一个枯燥的数学名词，而是一种具有普遍规律的科学方法，存在于我们生活的方方面面，从而学会了如何用数学的眼光去看待世界.

（责任编辑 易志毅）