两角和与差的余弦

陈长利

摘 要：理解两角和与差余弦公式的推导过程，掌握两角和与差的余弦公式并能解决简单的问题，理解向量解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，获取知识的能力，通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。

关键词：两角和与差 余弦公式 推导与证明

一、教学方法

在教学时，我们要从特殊到一般引导学生了解公式的形成过程，我们还要用类比和对比的方法，找出公式间的区别与联系，有利于学生的系统记忆和运用。

二、教学过程

[复习引入]

1.向量数量积的概念 2.向量数量积坐标运算公式

设计意图：让学生回答问题1、2，复习旧知识，为新知识的学习做准备。

[问题探究]

引例：如图：已知P、Q为角45?，30?终边上的点，OP=3，OQ=2，

问题1：求点P、Q的坐标。

P（3cos45°，3sin45°）

Q（2cos30°，2sin30°）

設计意图：通过特殊例子，根据向量数量积的定义和坐标运算可以得出：同一种运算，结果一样。并引导学生发现两边的6可以消去，为下面公式的推导做好铺垫。

问题3：这个等式是否具有一般性？（让学生自己写出结论）如果把上式中的45?，30?分别换成任意角α ，β，则cos（α -β）=cosαcosβ+sinαsinβ是否成立？这需要证明，怎样证明？

[公式推导]如图：在平面直角坐标系中，以OX轴为始边，作角α，β。在α，β终边上分别取因为等式与向量的长度无关，为了运算的方便，我们引入单位圆。在教学中，为什么要引入单位圆，要和学生讲清楚。（学习小组合作探究，老师引导，师生共同完成）

得出结论：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ公式记号Cα-β

设计意图：在坐标系中找到差角的几何表示，引导学生试探采用向量方法去解决问题，同时也体会到向量的工具性作用，让学生体会由特殊到一般的思想方法。

[公式深化]

探究cos（α+β）的公式

分析：把公式Cα-β 中的β换成-β，

cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

总结：

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

老师设问：（1）公式成立的条件？（2）公式有何结构特征？如何记忆？

学生回答：（1）α，β ∈ R （2）公式的结特征：归纳为“余余正正符号反”

设计意图：通过对问题的讨论，让学生对公式对有一个清晰完整的认识，进一步培养学生探索的能力。对公式进行深挖掘，显示其“辐射”的作用，培养学生的分析、联想能力，优化思维品质。

[公式应用]

例1（1）求cos105?及cos15?的值

（2）cos20?cos25?-sin20?sin25?

（3）cos（α+β）cosβ-sin（α+β）sinβ

设计意图：公式的正用，逆用。非特殊角转化为特殊角的和或差，可以求值或化简。

设计意图：此例题教师在黑板上形成板书，学生规范思考，规范步骤。

例3 证明：cos（π-α）=-cosα

设计意图：找出两角和与差的余弦与诱导公式的关系，公式的应用——证明，并进一步熟悉公式的特征，及时巩固所学知识，为公式的灵活应用作铺垫。

[归纳小结]

知识：两角和与差的余弦公式及其推导。

数学思想和方法：数形结合，分类讨论，转化与化归思想。

设计意图：对本节课的内容进行归纳总结，使学生对本节知识有一个清晰完整地认识，并点出问题解决的基本思路与方法，使学生养成归纳总结的习惯。

[作业布置]层次一  练习A  层次二  练习B

设计意图：巩固所学知识，养成及时复习的好习惯。

三、教学反思

1.在教学过程中，结果很重要，我们更要注重知识的形成过程，有老师或者学生经常忽视这一点，只片面地追求一些结果和结论，而本教案着重体现了知识的形成过程。特别是在证明的时候，为什么要引入单位圆，本学案讲得非常清楚。

2.在讲例题时，教师要率先示范，学生规范思考，规范步骤。讲完例题后及时总结反思，培养学生及时梳理知识，总结反思的习惯。然后练习，及时巩固学过得知识和方法。

3.本教学主要以学生为主体，让学生更多地参与课堂教学，培养了学生学习的自觉性和主动性，通过小组合作学习，培养学生合作的精神。