从理解数学角度审视高二“方差”教材

王佩 赵思林

【摘 要】 方差是刻画数据波动（离散）程度的重要统计量.从理解数学的角度，对人教社A版普通高中课程标准实验教科书数学2j3（选修）《离散型随机变量的方差》的几个问题作了探讨.

【关键词】 理解数学;方差;审视;教材

2017年6月21日，笔者到四川省Z学校听了一堂“离散型随机变量的方差”的观摩课，授课的L老师经验丰富，教学整体安排合理、环节紧凑、层次清晰、衔接自然.授课顺序安排如下：复习随机变量X的均值（数学期望）→“射击比赛”中“应该派哪名同学参赛？”的问题引入→随机变量X1和X2的分布列图→提问“怎样定量刻画随机变量的稳定性？”→随机变量的方差、标准差→随机变量的三个性质→范例与练习.

1 问题提出

在揣摩教材编写意图，仔细分析教材结构体系，反复考量内容顺序，字斟句酌教材语言后，笔者不禁对人教社A版普通高中课程标准实验教科书数学2-3（选修）《离散型随机变量的方差》（以下简称教材）该节内容，提出如下值得深度思考的问题：

（1）“射击比赛”引例中，射中某环所对应的概率数据是否过于复杂？

（2）“怎样定量刻画随机变量的稳定性”中的“稳定性”相较于“波动性”是否欠妥？

（3）通过类比引出“随机变量的方差”是否有利于学生理解数学的本质？

（4）随机变量方差的三个性质，教材是否需要呈现其证明过程？

2 问题的思考与解决

2.1 “射击比赛”引例中，射中某环所对应的概率数据是否过于复杂

本章章头语中表明，“…学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等知识，利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，解决一些简单的实际问题…”[1].于是教材通过“射击比赛”中“应该派哪名同学参赛？”这一实际问题引入，但根据X1和X2的均值，不能区分这两名同学的射击水平.至此通过问题“还有其他刻画两名同学射击特点的指标吗？”引入新知“方差”.可是在计算X1和X2的均值过程中，由于数据复杂，导致计算量偏大.如

E（X1）=5×0.03+6×0.09+7×0.20+8×0.31+9×0.27+10×0.10=8;

E（X2）=5×0.01+6×0.05+7×0.20+8×0.41+9×0.33=8[1].

一般的课堂教学时间为40或45分钟，而问题引入环节最多只能占3～5分钟，除去学生大量运算所花费时间，还剩多少宝贵的课堂引入时间，用于学生静心阅读，认真思考，处理信息，抓住关键.“数学是思维的体操”，“数学是思维的科学”，数学对培养人的科学精神、思维方法、探索能力、思辨能力、量化思维、审美情趣等具有重要作用[2].故在数学课上，应该更多地崇尚“脑力劳动”，而非简单四则运算下的“体力劳动”.因此建议将引例中的数据，调整为既能反映随机变量X1和X2的均值相等，又便于运算的相对较简单的数据，或者更换为能同时兼顾以上两点的另一引例.

或许有人会说，调整引例中的数据后，还能反映两名同学的真实射击水平吗？还能达到解决一些简单的实际问题这一目的吗？对此，笔者作如下解释：一是将选拔同学参加射击比赛，作为实际问题，其实很难与中学生引起共鸣，并且在大多数毕业踏入社会的同学的生活中也鲜有出现;二是本节内容目的是“学习离散型随机变量的方差，用于解决一些简单的实际问题.”但“目的”和“目标”是两个相互联系，却又有所不同的概念.目的，是一种很特别的目标，和一般短期、立即的目标不同.目标，是达到目的的手段.有了目的，你会开始安排各种目标，让自己一步步到达那个目的[3].因此欲达到本节内容的目的，就引入环节而言，可以先安排既能简单明确地反映随机变量X1和X2的均值相等，又无法对该问题做出判断的目标即可.暂时无需非用实际问题中的实际数据拔高起点.同时这也有利于培养学生，抓住数学问题的主要矛盾和数学矛盾的主要方面.

2.2 “怎样定量刻画随机变量的稳定性？”中的“稳定性”相较于“波动性”是否欠妥

教材欲通过两个环环紧扣的思考[1]：“除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？”以及“怎样定量刻画随机变量的稳定性？”进而引出新知.

教材上说[1]：“样本数据与样本的平均值的偏离程度，用它可以刻画样本数据的稳定性.”何为稳定？百度百科对“稳定”的解释是：稳固安定;没有变动;使稳定.笔者由此产生疑惑，样本数据的选取虽有随机性，但样本一旦选定不就已经稳定了吗？那从何谈样本数据的稳定性呢？带着此疑惑，笔者翻阅从初中到高中具有代表性的各版本数学教材中方差的定義，详见下表1.

由表1比较发现，方差或是刻画数据波动（离散）程度、或是考察样本数据分散程度、或是反映随机变量取值偏离于均值的平均程度，均未说明方差是刻画样本数据的稳定性，或刻画随机变量的稳定性.

章建跃[4]于2016年12月17日在“中国教育学会第二十九次学术年会”第三分论坛“数学核心素养与高中数学教学质量”上发言“科学性是对教材的基本要求，学科育人是以课程教材的严谨精确作为基础.科学性体现在教材内容的准确性，包括素材的准确性，概念原理的正确性，问题解答正确无误，用词、术语、符号、图表规范等.”基于“用词规范”建议，将教材思考题“怎样定量刻画随机变量的稳定性？”中的“稳定性”改为“波动性”.

2.3 通过类比引出“随机变量的方差”是否有利于学生理解数学的本质

教育部考试中心《考试大纲》，对该部分内容提出的考查要求较低，“理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题[7]”.由于高考对该部分内容考查要求较低，如若再不将这三个性质的证明呈现于教材，则多数教师就不会讲解其证明，而是要求学生记住这三个性质，并辅以大量的练习，学生会应用性质解题即可，这便会造成学生学得很棒的假象.并且学生只知道为了考试非学不可，对为什么要学这些，知之甚少，缺了“为什么”这一环节，势必不能激发和激活学生全心全力、自动自发的学习动机.

裴光亚[8]曾指出，“不论是着眼于考试，还是立足于素质，都必须：以理解数学的本质为前提，以培养数学能力素养为重点，以激发求知欲和好奇心为关键.了解数学产生的背景和应用，体验数学发现和创造的历程.不能单纯的依赖于记忆和套路.”

综上，那到底该怎样解决“应试困境”与“理解数学”之间的矛盾呢？建议将以上三个性质的证明通过教材呈现出来，对于相对简单的性质①和性质③，教师应在课堂上适当讲解，而对于性质②，可作为学有余力的学生自学，或作为研究性学习的素材.相信通过这样改进，能更好地激发学生的求知欲和好奇心，并且演绎出良好习惯，科学态度，探索自觉，理性精神，美学追求，高远视野[8].裴光亚[8]曾肯定地说：求知欲和好奇心，就是实现数学教学全面价值——“撬起地球”的那个支点.

3 两点启示

3.1 “共同富裕”的方差解释

人类社会为什么追求“共同富裕”？“共同富裕”是指居民普遍比较富裕并且贫富差距较小.从数学的角度看，方差的思想可以解释这个问题：若居民贫富差距较大，则方差就较大;若居民贫富差距较小，则方差也就较小. 因此，居民收入的方差是刻画居民贫富差距的一个重要指标.

3.2 方差对教育的启示

一个班级或某学科的学生成绩的方差越大，则说明学生各自的成绩偏离于班级平均成绩或学科平均成绩的程度越大，即波动性越大.因此方差带给班主任或学科教师的启示是，应根据成绩方差制定相应帮扶措施，从而使得全班同学在学习上能共同进步.

参考文献

[1]李勇，刘绍学等. 普通高中课程标准实验教科书数学2-3（选修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：43，64-68.

[2]赵思林，王婷.立德树人——高考数学命题的新亮点[J].数学通报，2017，56（4）：39-43.

[3]佚名.斯坦福教授：父母如何帮孩子找到目标和动力？[EB/OL].[2017-07-03].http：//www.sohu.com/a/43114681_212810.

[4]中国教育学会.如何在教材编写中落实核心素养？[EB/OL].[2017-02-22].http：//www.sohu.com/a/126953497_387107.

[5]林群，薛彬等. 義务教育教科书数学八年级下册[M]. 北京：人民教育出版社，2012：129-130.

[6]张淑梅，刘绍学等. 普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：75-77.

[7]教育部考试中心. 2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验版）[M]. 北京：高等教育出版社，2012：54.

[8]裴光亚.应试困境与数学教育旨趣的博弈——从一个悖论谈起[J].内江师范学院学报，2017，32（6）：16-22.