3.2.2函数模型的应用实例(第二课时)说课稿

孔志文 王文英

各位老师们：

大家好！我是北京市朝阳外国语学校的数学教师孔志文.很高兴能有机会参加这次教学研讨活动，向各位老师们学习.

我说课的题目是《函数模型的应用实例》.下面我将从教学背景说明、教学内容分析、学习者分析、教学目标及重难点、教学过程设计、教学特点及反思这六个方面对本节课进行说明.

1 教学背景说明

1.1 指导思想

《普通高中数学课程标准（2017）》提出，通过数学建模学习，“学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学和现实世界的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验.”可见，数学建模在高中数学课程中的地位和作用.

1.2 理论依据

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学教学方法的核心是学生的‘再创造.”将现代信息技术应用于数学教学之中，让学生置身于“数学实验室”，可为学生创设“再创造”的数学实验和探究的环境，促进学生积极探索数学问题，主动建构数学模型.

2 教学内容说明

《函数模型的应用实例》选自普通高中课程标准实验教科书人教A版必修1中的第3.2.2节.函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，对于发展学生的数学建模核心素养有着重要的意义.它主要包含三个方面的内容：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题和建立拟合函数模型解决实际问题.本节课的主要内容为建立拟合函数模型解决实际问题.

3 学习者分析

学生已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型，对利用函数模型解决实际问题有一定的了解.授课班级学生有过用几何画板研究简单基本函数的经历，但不够熟练，学生有着较强的数学学习兴趣.学生对统计数表和散点图的处理缺乏有效手段，对拟合函数认可度不够，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难.

为了更好地了解任教班级学生的学习情况，我拟定了2个试题（详细情况请参看附件），用以了解学生对常见函数的熟练程度及求解能力.

通过对课前调查第1题（求二次函数解析式，见附件），发现所有学生（30人）能够运用待定系数法求解二次函数的解析式.

通过对课前调查第2题（求类指数函数解析式，见附件），发现大多数学生能够正确求解类指数函数的解析式.

根据教学内容分析和学习者分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：

教学重点：建立合适的拟合函数模型解决问题.

教学难点：建立、选择合适的函数模型.

4 教学目标

根据课程标准，基于上述分析.我确定本节课教学目标如下：

（1）通过数学建模活动，了解数学建模的一般过程，会建立确定性函数模型;

（2）借助信息技术，利用数据画出函数图象，探究出合适的拟合函数模型;在建立模型的过程中，掌握建模解决实际问题的基本思路和方法，体会数形结合、特殊与一般、函数与方程等数学思想;

（3）学生经历探究函数模型，体验合作探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，增强数学应用意识.

5 教学过程设计

為了达成上述教学目标，在具体教学中，我把这次课分为以下五个阶段：

下面对每个阶段教学中希望解决的问题和教学步骤作出说明：

5.1 创设情境

这个阶段学生需要理解实际问题，并将实际问题数学化，即通过阅读、理解题意，能知道以身高为自变量、体重为因变量进行研究.对于学生来说，此背景很容易理解，不需要教师过多解释.

问题：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.

（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

活动意图说明 以学生熟悉的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣.5.2 小组合作建模

本节课在计算机房分组合作学习，每个组员都需要清楚自己的任务，在任务驱动下，大家才能紧张有序地进行学习，否则，在机房学习很容易浪费时间.因此，我设计了活动1，保证学生能高效进行探究活动.

活动1 明确小组任务.

①根据表中的数据各组员独立地找到男性体重和身高的函数关系;

②小组每个成员把自己得到的函数关系和同组同学的函数关系比较，是不是同一类函数？如果是同一类函数，函数解析式是否相同？

③如果是同一类函数，为什么不是同一个函数解析式，请通过讨论说服本组其他同学？如果不是同一类函数，可以吗？给出理由;

④请各组派一个成员代表本组阐述本组想法、做法.

活动意图说明 合作学习首先要做的就是让全体成员明确在本小组的任务是什么，每个成员将自己探究出的函数模型和本组其他成员比较，分析产生不同的原因.通过讨论、交流找到模型不一样的原因，这个环节指向模型的选择、建立及检验.

各组学生明确自己的任务后，就得开始建立模型了.由于部分学生使用几何画板不熟练，并且没有用几何画板作散点图的经历，为了帮助全体同学掌握画散点图的技能，我设置了活动2，目的是让每一个同学都会画散点图.

活动2 请同学们在平面直角坐标系中画出散点图.

活动意图说明 将表格数据变成点，这是研究函数的第一步;通过本活动，学生感悟到画散点图是研究函数的基本手段之一，是研究函数的常用方法.学生经历这个过程，充分体验数形结合思想在研究函数问题中的作用，也为进一步选择函数模型作铺垫.

教师在巡视过程中，适时给不会用几何画板画散点图的同学给予点拨之后引导学生进入活动3，选择函数模型并初步求解.

活动3 根据上面的散点图，你认为我们学过的哪一类函数的图象与之比较接近，并求出其解析式.

根据散点图的走向，结合学生自己的学习经验，容易判断出函数可能是指数函数也可能是二次函数.可能的结果如下：

活动意图说明 根据散点图的趋势，从学过的函数中选择适合的函数模型，然后通过待定系数法求解，学生对不同函数的熟练程度，选择的函数模型不一样.

5.3 汇报、交流、检验模型

本节课的教学重点、难点需要在这个阶段突破.通过各个小组代表的交流、讨论、生生评价、教师点评，学生掌握建立、求解函数模型的方法及检验模型优劣的方法.由于任务1中要求同组学生取得统一结果，各组代表就可以将本组统一结果和全班同学交流，即活动4.

活动4 请各组派一个组员将本组求出的函数图象与散点图在同一個坐标系中做出来，并判断求出的函数是否满足题意？

各组可能的结果如下：

活动意图说明 根据散点图的趋势，学生会选择不同类型的函数模型，通过待定系数法求出相应的解析式，作出拟合函数图象，根据拟合效果，让组内和不同组学生进行评价.通过师生评价、生生评价，同学们逐步认识到数学模型的多样性，而非唯一，只要保证散点图均匀分布在求出的函数图象两侧即可.

在此活动中，学生不仅交流自己组的函数模型（结果），也会交流函数是如何得到的？比如，二次函数，先选择其中3个点，然后用待定系数法求解（见上），学生都能感受到求解过程中计算量较大（事实上，在数学建模过程计算量都会较大，因此借助软件计算或者计算器计算就显得非常必要），然后将求得的函数图象与散点图进行比较.

学生在完成任务1的过程中，还会产生这么个问题？同组同学选用的不是同类函数，该如何选择呢？

活动5 本小组中拟合函数是同类型函数，但解析式不同的，请分别在不同坐标系中作出求得的拟合函数图象，并讨论哪个拟合函数更好？应用求得的函数解析式，解决问题.

预设：在本活动中，学生可能会想到类指数函数，通过对函数图象拟合、讨论、比较，学生养成检验模型的意识.

活动意图说明 选定了函数的类型，选择的点不一样，求出来的解可能是不同的，拟合效果也大不相同，这不借助信息技术是很难作出判断的.这是检验模型是否满足条件的难点，也是数学建模的重要环节.本节课只要求学生能做出感性判断（散点均匀分布在所求函数两侧）即可，要增强模型优化意识.

至此，学生经历了建立拟合函数模型的全过程：画散点图、选择模型、求解模型、检验模型，同时深刻体会到计算机的不可或缺作用.

5.4 归纳、提升

为了进一步帮助学生掌握数学建模的过程、培养学生的概括和语言表达能力，我在课堂小结设置了2个问题，其中问题2是引发学生思考，学习方式的变化引起的问题解决方式的变化：合作讨论解决问题、实验解决问题等等.

活动6 通过本节课的学习请回答以下2个问题：

（1）请你谈谈自己经历的数学建模过程;

（2）在数学建模的过程中，你遇到了什么困难？如何解决的？

活动意图说明 学生通过回顾本节课所学经历的合作过程以及研究方法，有利于学生系统地了解数学建模的基本过程，对拟合函数模型有了更清晰的理解.学生回顾利用几何画板作出拟合函数的图象，观察散点在图象的分布情况，从而选择合适的模型，深刻体会信息技术在建模中的应用.

5.5 课后实践

请各小组通过网络找到我国2005—2014年的国内生产总值，并将其列表.然后依据表格数据建立数学模型预测2015年的国内生产总值.

6 教学特点及反思

6.1 教学特点

1.教师设置活动，学生经历画散点图、选择模型、求解模型、检验模型等过程，置身于“数学实验室”，主动建构数学模型，积累数学活动经验.

2.本节课以几何画板为工具，借助网络进行交流、展示，学生深度参与，本节课为发展学生数学建模素养开了一扇门.

3.发展性评价.数学建模核心素养不是一节课就能培养出来的，而是经过多年的学习实践积累起来的，因此在课堂上对同学的点滴成功及时给予肯定，鼓励他们通过信息手段、同组讨论、实验等方式解决遇到的困难.

6.2 反思不足

本节课一定有不少值得改进的地方，比如素材中的数据可由学生们自己来收集、整理，因为本节课在网络环境下这还是比较容易实现的，这样更真实体现数学建模的完整过程：收集数据、画散点图、选择模型、求解模型、检验模型.其次，学生在选择3点用待定系数法求二次函数时，由于数据的真实性，相关参数求解花费时间较多，是不是可以考虑在上本课前，给学生培训MATLAB的简单应用，这样能节省一些时间.

以上就是我的说课内容，不足之处，恳请各位老师批评、指正.谢谢！