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分类讨论思想在几何中的应用

2019-03-29黄学芳

湖北教育·教育教学 2019年2期
关键词:中垂线顶角坐标轴

黄学芳

分类讨论是一种重要的数学思想方法,也是一种解题策略。笔者以人教版数学八年级上册《等腰三角形中的分类讨论》教学片段为例,具体谈谈分类讨论思想在教学中的应用。

师:等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求三角形各内角的度数。

生1:等腰三角形一腰上的高与另一边的夾角为25°,说明一腰上的高与另一腰的夹角为25°,而这时又分为腰上的高在三角形的内部和外部两种情况。

生2:还有一种情况, 一腰上的高与另一边的夹角为25°,另一边在这里还有可能是底边。

师:大家根据这两位同学的建议,在草稿纸上画图思考。

(学生画图如下。)

师:遇到这种类型的题,首先要对另一边进行理解。这里的“另一边”说明了条件不确定,也就是说有可能是底,也有可能是腰。

师:请看下一题。在直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),在坐标轴上找一点P,使得△OAP为等腰三角形。你可能找到几个点?你能写出它的坐标吗?

(学生独立思考,教师巡查发现学生找点思路不是很清晰,只有少数学生对怎么分类找点很清楚。教师点名提问。)

师:P点你能找到几个?

生1:有8个这样的点。

师:请说明你是怎样找出来的?

生1:以O点为圆心,OA长为半径画弧,这样就与坐标轴有4个交点,这样就找到了4个P点。

师:请说明你的依据。

生1:我把点O作为角的顶点,那么OA就是其中一腰,OP是另一腰,即OP=OA。

师:非常好,你的思路很清晰,请继续。

生1:再以A点为圆心,AO长为半径画弧,与两坐标轴交于两点,这样做是以点A为顶角的顶点,那么AP=AO;最后做线段OA的中垂线,交坐标轴于另外两点,这是把P点作为顶角的顶点,那么PO=PA,P点应在OA的中垂线上,这样就找出了8个点。

(教师带头鼓掌,教室里再次出现了热烈的掌声。)

师:请同学们再在图上找一找,思考你没有找完整的原因。

生2:我没找完整,是因为分类不够清楚,思维比较模糊,没考虑以A为顶点、OA为腰的情况。

生3:我没有考虑OA为底的情况。

最后,师生小结解分类讨论问题的一般步骤。①分类的原因:条件或结论不确定。②分类的标准:对不确定的条件或结论进行合理分类;③逐类讨论:对各类问题详细讨论,逐步解决。④检查总结:将各类情况总结归纳。

(作者单位:宜昌市五峰土家族自治县渔洋关镇中学)

责任编辑 孙爱蓉

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