双元计算法求体积本征值

吉紫娟，包佳祺，靳海芹，肖明

(1.湖北第二师范学院理论物理研究所，湖北 武汉 430205；2.华中科技大学文华学院光信息科学与技术系，湖北 武汉 430074)

目前，圈量子引力取得的主要成果之一是空间的量子化.利用使空间量子化的自旋网编织空间，以及由自旋网产生的黑洞表面量子化面积与黑洞辐射等的研究，在Hamilton动力学的研究中得到的时空泡沫理论，也为时间的量子化提出了模式.对于空间的量子理论，其成果主要集中在面积与体积的量子化研究上，目前这方面已经取得了完整的结果，并在理论本身以及黑洞量子行为等研究上，做出了理论预言.在空间量子化的具体计算上，存在着不同的方法，它们都能说明量子化的基本原理的正确，而所带来的不同，则体现了不同方法的特色[1].本文中用抓算符直接抓在圈线上的方式，并采用Penrose的双元恒等式进行计算，给出一种体积量子化方法.该方法可以求出任意价顶角的体积，并且可以应用到求面积的本征值中，使圈量子引力中求面积、体积本征值的方法达到统一[2].

1 体积算符及其对自旋网的作用原理

1.1圈变量表示的体积算符在介绍双元计算方法之前，首先给出体积算符的定义及其作用的一般原则[3].体积算符与面积算符一样，也应当与背景无关，而且它们的作用结果应当是得到有限的期望值和微分同胚不变的.本文利用体积表式：

(1)

来计算体积.由该体积表式出发，可用与背景无关的体积算符的正规化手段，得到空间体积量子化的期望值.为此，定义带有3个抓的圈变量：

(2)

式中，α为连接s和t的直线段.从而，当圈α缩成一点x时，可得:

(3)

由于(3)式的存在，使得用圈变量Tabc[α]代替微体积平方算符对自旋网顶角的作用成为可能，现在考虑“密度”：

(4)

式中，αστρ为一个三角圈，它的3个点σ，τ，ρ连接在微立体RIε的3个积分表面上，DIε相当于微立体体积密度的平方.

对于量子化的体积算符，有如下表式：

(5～6)

上式中的微体积密度，将通过如下带有圈变量的形式给出：

(7)

(8)

圈αστρ上的抓三重组(σ，τ，ρ)抓在

(9)

(9)式为空间∑中的体积算符对自旋网态作用的本征方程，它规定了算符作用的一般原则.该式对自旋网S的任何顶点的任意3-顶角展开的任何着色均适用.

(10)

(11)

2 3价顶角、4价顶角及5价顶角的体积

(12)

2.13价顶角的体积谱通过3-顶角的圈线，抓三重组对3-顶角作用时，只有3种不同线型.将3种线型贡献的抓法数加在一起，经计算，其和为p1p2p3.令p1p2p3=G3，G3为顶角抓法数，将其代入(12)，得到3-顶角的体积谱为：

(13)

式中，p1，p2，p3为毗邻3-顶角的三条腿的颜色.

2.24价顶角的体积谱对一个4-顶角求体积，首先将其进行3-顶角展开，得到一个确定的3-顶角展开图，如图1：

图1 4价顶角的3-顶角展开

图2 4价顶角含对穿圈线的网结

对于4-顶角，抓作用的腿型只有(■-■-■)一种，抓三重组抓住通过邻腿的圈线时对着色抓法数的贡献为:

(14)

而抓住含有对穿圈线时对着色抓法数的贡献为:

B4=2(i24p1p3+i13p2p4)+i13[(i23+i34)p1+(i12+i14)p3]+i24[(i34+i14)p2+(i12+i23)p4]+

(15)

(16)

(17)

图3 5价顶角的3-顶角展开

图4 5价顶角圈线走向图

抓三重组在5-顶角的3条腿上，共有(■-■-■)和(■-■，■)两种腿型作用.经过计算，分别得到5-顶角腿型(■-■-■)，不含与含诸对穿线的情况下对着色抓法数的贡献A5，B5如下：

(18)

(19)

而5-顶角腿型(■-■，■)，通过5种抓法实现，这5种抓法抓在圈线上时对着色抓法数的贡献为：C5=p1p2p4+p2p3p5+p3p4p1+p4p5p2+p5p1p3

(20)

(21)

(22)

3 结语

本文中利用将几何算符中的抓，直接抓在自旋网的圈线上的方法，得到了3，4，5价顶角的体积算符的期望值.在演算过程中，除利用了抓作用使圈线反对称外，只采用了Penrose双元恒等式.其结果是，所有类型抓作用均为具有同一本征值的本征作用.存在于空间中的自旋网，在经历所在空间的区域在顶角上施加的算符作用后，仍保持不变.从而，所有抓三重组作用的全部本征值的求得，将最后归结为对顶角抓法数的求得，这是一个重要结论.利用双元计算法得到的本征方程是个代数方程，与国外利用图式算法求解比较，将更方便，更接近体积算符实际情况.利用该方法还可求得6-顶角或更高价顶角的体积.此外，这种方法不仅可以求得体积的本征值，还可应用到求面积本征值，使圈量子引力中，求面积、体积本征值的方法达到统一，并且还可用于微分同胚约束和Hamilton约束的计算[5].

[1] C Rovelli and L.Smolin，Discreteness of area and volume in quantum gravity[J].Nucl Phys B，1995，442:593-622.

[2] 邵丹，邵亮，邵常贵，等.自旋结网圈表象中体积与面积本征值[J].物理学报，2005，54(10):4549-4555.

[3] Loll R，The volume operator in discretized quantum gravity[J]. Phys Rev Lett，1995，75(17):3048-3051.

[4] Loll R，Spectrum of the volume operator in quantum gravity[J].Nucl Phys B，1996，460:143.

[5] 包佳祺，吉紫娟，肖飞.圈量子引力中面积算符的本征值[J].武汉理工大学学报：自然科学版，2010，32(8):133-135.