顶角为100°的等腰三角形性质的应用

1性质

如图1，三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∠ABC的平分线交AC于D，则AD+BD=BC.

该结论比较常见，有多种证法，本文不再赘述.通过构造顶角为100°的等腰三角形，可以解决竞赛中与之类似的几何问题，举例如下.

例1如图2，三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，延长AB至D，使得AD=BC，连结CD，求∠BCD的度数.

解作∠ACB的平分线交AB于E，由性质知AE+EC=BC.

因为AD=BC，即AE+DE=BC，故DE=EC，所以∠ECD=∠EDC=12∠AEC=30°，而∠ECB=20°，得∠BCD=∠ECD-∠ECB=10°.

图3例2在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D、E分别为边AC、AB上的点，满足∠ABD=20°，∠ACE=30°，求∠BDE的度数.

解如图3，构造以AB为底边的等腰三角形ABM，顶角∠AMB=100°，BM交AC于F，连结DM、EF，由AM=BM，AD=BD，DM=DM即得△ADM≌△BDM，所以∠BMD=∠AMD=50°，易知∠BCE=∠BEC=50°，故BC=BE，而∠EBF=∠CBF=40°，BF=BF，故△BEF≌△BCF，得CF=EF，由性质知MF+AF=AB=AC，所以MF=CF=EF. 同时由三角形内角和性质得∠BFC=60°，于是∠BFE=∠BFC=60°， 则∠DFE=60°，所以∠DFE=∠BFC， 又∠DFM=∠BFC，故∠DFM=∠DFE， 因为DF=DF，所以△DFE≌△DFM， 则∠DEF=∠DMF=50°，得∠AED=180°-80°-50°=50°， 所以∠BDE=∠AED-∠ABD=50°-20°=30°.

例3在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D为AC边上一点，满足∠BDC=30°，求证：AD=BC.

图4证明如图4，构造以AB为底边的等腰三角形ABK，顶角∠AKB=100°，BK交AC于E，连结DK， 则∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-10°=30°， 故∠DBE=∠BDE，所以BE=DE. 根据性质知EC=EK，同时∠BEC=∠DEK， 所以△BEC≌△DEK，得∠DKE=∠C=80°，DK=BC， 则∠AKD=∠AKB-∠DKB=20°，而∠DAK=20°， 所以AD=DK=BC.

图5例4 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P是△ABC内一点，且∠PBC=10°，∠PCA=30°.求∠PAC的度数.

解如图5，延长AC到D，使得AD=BD，则∠ADB=20°，构造以BD为底边的等腰三角形BDQ，顶角∠BQD=100°，BQ交AC于E，连结AQ、CQ，由性质即知AE=EQ，而∠QED=60°， 所以∠QAE=∠AQE=30°，则∠AQD=130°=∠BCD，同时∠QDA=∠CDB=20°，AD=BD.所以△AQD≌△BCD，得DQ=DC，则∠CQD=∠QCD=80°，故∠EQC=∠EQD-∠CQD=20°，又因为∠PCA=30°=∠AQE，所以A、P、C、Q四点共圆，所以∠PAC=∠EQC=20°.

例5在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=70°，D为BC上一点，且∠BAD=20°，求证：AB+BD=AD+DC.

证明如图6，延长CD到E，使得DE=AD，连结AE. 由已知即得∠ADE=100°，故∠EAD=∠AED=40°，图6 则∠EAB=∠BAD=20°， 于是根据性质得AB+BD=AE， 同时由∠ACB=70°以及∠AED=40°得∠EAC=∠ACB=70°， 所以AE=EC=ED+DC=AD+DC， 故AB+BD=AD+DC.

作者簡介华漫天（1969—），男，浙江慈溪人，中学高级教师.主要从事初中数学教学以及解题研究，已有近30篇论文发表.endprint