基于单元整体视角 凸显运算本质理解

【摘   要】运算定律是数学运算的基础。实际教学中学生在运算定律本质理解与应用方面存在较大困难。为了解决这个难点，我们要准确定位“运算定律”单元教学的目标，采用单元整体教学的方式系统设计教学思路，教学设计逐层深化，注重培养学生的简算意识，并通过精准练习，夯实基础，提升学生简算技能。

【关键词】小学数学;运算定律;简算技能

人教版教材四年级下册第三单元“运算定律”主要教学加法交换律与结合律，乘法交换律、结合律与分配律。这一单元的学习具有重要的意义，但是数学教师认为“这个单元太难了”。 上一届四年级教学完“运算定律”后，对全班40名学生进行了后测，要求怎样简便怎样计算，如果使用了运算定律（性质），就写出名称。部分调查情况如下表：

6道题中4题是“标准模型”的简便计算，想到简便方法并正确计算的学生均达到85%。而35×28+70这样简算特征比较“隐蔽”的题目，能自主想到简便方法的不足50%，由此可见学生缺乏必要的观察力和创造条件简算的意识。平时作业中还发现很多学生在式题中能主动运用运算定律进行简算，但在解决实际问题时，受数量关系等因素的影响，不能合理、灵活地进行计算。其原因是单元教学中，“标准模型”的强化训练过多，缺少对“非标准模型”式题简便计算的思考，给学生留下了“只有课本、练习本上这样的题目才能简便计算”的印象。

总的来说，这一单元教学最大的问题是没有从单元教学目标出发，以整体教学的思路来系统设计各课时的教学。

一、“运算定律”单元教学目标定位

一要厘清简便计算与运算定律的联系与区别。运算定律是一种模型化知识，简便计算则是根据算式和数的特点，依据四则运算的性质，灵活处理运算顺序，以达到简便易算的目的。在教学中，教师要牢牢把握，运算定律是运算本身固有的性质，也是后续代数知识学习的必备基础，因此运算定律教学不能简单地等同于简便计算教学，要引导学生理解和把握运算定律的本质，在此基础上学会运用运算定律进行一些简便计算，并能用所学的知识解决简单的实际问题。

二要注重培养学生的数学思维能力。在运用归纳推理得到运算定律的过程中，积累活动经验。教师要注意让学生充分地探究尝试，合作表达，感受归纳推理与演绎推理的价值。

二、“运算定律”单元教学策略

（一）教学设计要系统化

“运算定律”单元知识框架清晰，为了能让学生主动参与归纳推理的过程，积累丰富的活动经验，形成较为系统的知识体系，需采用单元整体教学的方式。

1.通过“单元导读”，“问”明学习目标

诺贝尔物理学奖获得者李政道曾说：“求学问，需学问，只学答，非学问。”数学教学中，我们要注重培养学生发现问题和提出问题的能力。本单元学习之初，先引领学生采用提问的方式对单元学习内容有一个整体的了解，并带着疑问展开整个单元的学习，起到目标导向作用。

教学片段如下：

师：今天开始我们将学习第三单元《运算定律》，对于这个单元的学习你有疑问吗？

生：什么叫运算定律？

生：为什么会算还要定律？（为什么要有运算定律？）

生：有哪些运算定律？

师：同学们的问题提得很好。（课件呈现五条运算定律）我们这个单元主要学习的就是这五条运算定律。你现在有什么想说的？

生：为什么没有减法、除法运算定律？

生：加法有交换律、结合律，乘法也有交换律、结合律。

生：为什么加法没有分配律，只有乘法有分配律？

……

以上教学片段中，学生提了很多有价值的问题，带着这些问题展开的学习，能使学生学得更深刻，思考性更强。

2.上好“种子课”，把握知识结构

人教版教材是按照加法运算定律和乘法运算定律两大类进行编排的（如下图）。加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律在形式结构上相似度很高，学生学了加法的运算定律，可以迁移类推乘法交换律、结合律。同时从教材的编排特点来看，“运算定律”单元教材的编排体现了归纳推理的思维过程。每一个内容基本上是按照情境引出具体算式—计算得出两组算式结果相等—观察算式，初步得出规律—学生举例—观察所有算式，发现规律—表述规律—解释、验证—应用规律。

基于知识特点和编排形式的高度相似，教师将加法交换律、结合律作为本单元的“种子课”，引导学生经历归纳的全过程，获得关于归纳推理的基本经验。同时运用演绎推理，引导学生从问题情境、运算意义的角度来理解定律的正确性。后续几个课时的教学，采用“逐步放手”的策略，在学习减法性质时，扶着学生“走”一程（理解运用这两种方法探索规律），在学习乘法交换律与结合律、除法性质时让学生自由“奔跑”（自主运用方法探索规律）。这样的设计重在引导学生学方法、用方法，丰富活动经验。

乘法分配律一课虽然不是本单元的起始课，但因为乘法分配律涉及两种运算，结构复杂，变式多，也是非常重要的课，也可以称为“种子课”。这一课，需要从结构入手，强化学生的结构意识，在脑中形成（□+〇）×★=□×★+〇×★的表象，并通过多元表征方式尤其是用乘法的意义来解释乘法分配律的正确性。

3.重视知识梳理，“分类”强化理解

复习不仅仅是为了查漏补缺， 通过整理与复习，帮助学生建构知识网络是复习课的一项重要任务。经过一个单元的学习之后，学生对于运算定律有了一定的理解。教师编制复习单，学生课前进行自主整理，表格式的整理方式便于学生记忆。

在自主整理时，学生采用不同的分类方法进行整理，有的学生按照加法、乘法、减法、除法的顺序进行整理（如下图），有的学生按照交换律、结合律、乘法分配律、减法与除法性质的顺序整理（如下图）。在反馈交流时，教师引导学生说说自主整理的想法，特别是不同运算定律或性质之间的联系与区别，便于学生归纳整理，形成知识网络。如交换律是“交换加數或因数位置，得数不变”，结合律是“改变计算顺序，得数不变”。

（二）教学设计要逐层深化

“运算定律”教学关键是对定律本质的理解，一方面需要引导学生充分经历归纳推理的过程，另一方面需要从常规到变式，丰盈应用。

1. “形神兼备”——深入看

在借助实例初步归纳出运算定律的基础上，教师可借助生活表征、图形表征、符号表征等方法提炼定律的形式结构。如乘法结合律的教学可借助立体图形（如图1），可以先算一层有几个，也可以先算一列有几个。又如乘法分配律的教学可借助课件演示图形从分到合或从合到分的动态过程。图形表征可以给予学生一个“记忆的支点”，帮助学生理解运算定律。符号表征是高度抽象的数学表征方式，从具体实例到用符号表示的过程中，学生进一步关注运算定律的结构特点。

运算定律的形式结构在不完全归纳中可以建立，但是学生对这个共性的感知可能只是符号化的。如果只从形式结构上花工夫，那么学生会很难理解为什么算式可以等值变形，对运算定律的学习只知其形而不知其神。要走出“有形无神”的困局，就需要从运算意义入手，抓住这个根基，讲清楚为什么。如加法交换律，从运算的意义来说，不论左边加右边，还是右边加左边，都是把两部分合起来，因此和是不变的。又如乘法分配律的根基是乘法意义，11个25加9个25等于（11+9）个25，不论是分开算再相加，或是合起来乘，计算的都是20个25的得数。从几个几加几个几等于几个几的角度来解释乘法分配律，实现意义与模型表征的有机结合，有助于简便计算如99×28+28，76×101-76，43×19+56×19+19的实施。

2.“旧知”牵线——回头看

在学习运算定律之前，其实学生已经有了比较丰富的实践经验，教学中要充分利用学生的旧知理解定律内涵。如教学加法交换律时，可以引导学生回顾一年级学习的一图四式（如下图3）。教学乘法分配律时可以引导学生回忆三年级学过的两位数乘两位数笔算（如下图4），14×12，计算时先算个位14×2，再算十位14×10，就是2个14加10个14。回顾原有的知识，可以例证运算定律的正确性，进一步理解运算定律的本质。运算定律不仅仅是为了简算，它也是后续数学学习的基础。沟通知识之间的联系，能让学生从整体上把握知识形成与发展的脉络，使数学知识结构化、系统化。当学生在探究运算定律的过程中回顾长方形周长的计算方法，两位数乘一位数、两位数乘两位数、多位数笔算乘法的算理算法时，那会心的一笑或者一声轻轻的“哦”，那种“蓦然回首”的惊喜是数学学习过程中的美丽乐章。

3.“变式”拓展——对应看

任何概念都有其内涵与外延，教学中除了引导学生理解文字表达的含义外，还应对其含义进行拓展。在以往的教学中，发现这样一种现象，让学生举例说明交换律时，学生纠结于“该写2个数还是写3个数”而无从下手。实际教学中学生归纳交换律的过程往往是借助大量的两个数的例子，通过不完全归纳定律后用字母表示的，如教材中所说“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。而实际运用时，往往是三个及以上数相加，这样就容易造成学生实际运用的障碍，对概念的理解存在局限性。因此，教学中教师要注重引导学生从基本结构的“立”到对基本结构的“破”，实现对定律含义理解的拓展。

教学片段如下：

初步归纳总结加法交换律，并用字母式a+b=b+a表示。

（1）提供素材，学生计算35+145+65，143+234+257。

（2）展示交流，提出问题：你为什么把35和65先加起来，这样计算改变了什么？可以这样改变吗？

（3）在35+145+65中，谁是加法交换律中的a和b？

（4）通过交流讨论得出：虽然这里凑整的是35和65，但是交换位置的是145和65。

（5）2个加数、3个加数时可以运用加法交换律，那么如果有4个加数、5个加数或者更多加数可以运用吗？请举出两三个例子并算一算。

以上教学片段中，教师加强了学生a+b=b+a与具体应用之间的对应关系， 拓展了对加法交换律的理解。

除了交换律以外，结合律，乘法分配律等运算定律的内涵同样需要拓展。如乘法分配律要增加项数的变式，将两数和与一个数相乘变为三个四个数的和与一个数相乘，即（a+b+c）d=ad+bd+cd;将两数之和变为两个数之差，即（a-b）c=ac-bc;将特殊数1参与到变式中，即（a+1）b=ab+b。让学生在“变与不变”中进一步内化对定律应用的理解。

（三）教学设计要注重提升简算意识

“运算定律”单元的教学目标之一是运用运算定律进行一些简便计算，解决简单的实际问题。对于小学生来说，运算定律只有在运用的时候才能体现其价值，而且也能在运用中进一步深化理解。因此，本单元的教学要注重学生运算的正确性和灵活性。

1.一题多解，提升灵活简算技能

良好的简算意识是当学生面对简算特征不明显的题目时，能恰当地选择计算方法。简算意识不是一朝一夕能养成的，需要教师在平时教学中创造条件，抓住契机，鼓励学生算法多样化，提倡巧算。

如“运算定律”单元复习时，教师可设计一些题目，要求简便计算。例如计算65+35×16。

教学片段如下：

呈现一名学生的答题。

师：其他小组有什么想法？

生：65+35×16这一题不能先算65+35，这里没有括号，应该按顺序先计算35×16的积再加65。

师：是呀，我们在计算时不能光考虑数据，还要考虑运算顺序，综合思考能否找到合适的运算定律进行简便计算。

生：其实这一题也可以简便计算的（如下图）。我先将16拆成10和6，分别算出35乘10和35乘6的积，再加起来。

生：我的想法是把16拆成4乘4，先算35乘4的積，再乘4。

师：大家觉得他们的这两种方法怎么样？

生：我觉得他们的方法很厉害，不用列竖式就能算出答案。

师：是呀，很高明的想法，他们能从一道普通的题目想到简便方法，活学活用。

以上教学片段中教师首先引导学生体会简便计算中有“数”更要有“据”，在计算中不仅要关注数的特点，还要关注算式的结构。在一题多解基础上展示学生个性化简算方法，提高学生合理、灵活计算的技能。

2.自编习题，提升灵活简算意识

自编习题的思维含量远远超过单纯的计算，教师可以设计一些半开放或者开放式练习，引导学生自主编题。如“运算定律”单元复习课教师设计的两组练习题（如下）：

（1）编半题

25×43____________，在横线上填写数与运算符号，使式子能简便计算。并说明用什么定律或性质。

（2）编全题

选择一：出一道看似可简算，实则不能简算的题。

选择二：出一道看似不能简算，实则可以简算的题。

第一组针对学生乘法分配律和乘法结合律容易混淆的问题，设计了“编半题”的练习，“25×43____________，在橫线上填写数与运算符号，使式子能简便计算。并说明用什么定律或性质。”以上这组练习具有一定的开放性，学生可以运用乘法结合律编写例如“25×43×4”这样的题，也可以运用乘法分配律编写例如“25×43+25×57”这样的题。第二组针对学生因凑整的“条件反射”而忽视整体运算顺序的问题而设计的一组开放性编题，学生任选其一编题，全班评选最有水平的题。编题的思维层次比计算高很多，学生在自主编题、计算、批改、反思的过程中对运算定律的本质以及简便计算有了更深入的理解。

3.建立错题库，实现针对性练习

计算能力的提升需要一定量的练习，但是练习不能靠“量”取胜，应该有针对性。要补缺，先查漏，查漏的本质是了解学情，只有真正了解学情，才能针对性地补缺。一方面，教师要做有心人，平时作业批改时要注意记录学生典型错题，分析错误原因，形成班级错题库。有了这个错题库，教师就能有目的地设计练习题，通过练习课或者阶段性课外练习的方式供学生复习巩固。另一方面，教师也可以引导学生设置个人错题本，学生每天摘录自己作业中的计算错误，简要分析错误原因。一个阶段后，可以让学生根据错题本的内容自主设计一份计算练习，自己做一做，同伴相互批一批。这样“私人定制”的练习题一方面能实现精准查漏的功能，另一方面自主命题的方式能充分激发学生的学习自主性。

数学教学需要整体意识，以整体的角度设计实施“运算定律”单元的教学，能让学生更深入地把握计算的“形与神”，形成知识结构，夯实“数学大厦的基石”。

参考文献：

[1]陈晓燕.经历归纳推理过程 积累思维活动经验——以“运算定律”教学为例[J].中小学教材教学，2017（2）.

[2]郑欲晓，朱志明.寻根源找对策，提高课堂教学质量——以运算定律教学为例[J].小学教学参考，2016（6）.

[3]南欲晓.从理解的角度思考运算定律学习中的困难及其对策[J].教学月刊·小学版（数学），2017（1-2）.

[4]金雪凤.“运算定律与简便计算单元复习”教学设计与评析[J].小学数学教师，2013（5）.

[5]金雪凤.在“分享”中实现深度学习[J].嘉兴教育，2017（6）.

（浙江省海宁市丁桥镇中心小学 314413）