高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法

耿丽芳

【摘要】 在高等数学教学过程中，高阶常系数非齐次常微分方程解法只有几种.比如，在解决齐次线性方程的时候所利用的特征代数方程，在本文当中提出了常系数线性非齐次常微分方程的其他解法，在非齐项是任意连续函数的时候，通过第二类特征代数方法的求解过程，得到求特解的公式，并且通过实例对解法进行了系统分析.

【关键词】 常系数;特征方程;非齐次常微分方程

一、高阶常系数线性非齐次常微分方程解法

常系数线性非齐次常微分方程的形式如下所示.

x（n）+p1x（n-1）+p2x（n-2）+…+pnx=f（t）. （1）

（一）常数变易法

可以将方程的特解设为：

x（t）=c1（t）x1（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t）， （2）

c，i均为常数，将其代入到（1）当中，可以得到方程组：

x1c1′（t）+x2c2′（t）+…+xncn′（t）=0，x1′c1′（t）+x2′c2′（t）+…+xn′cn′（t）=0，x（n-2）1c1′（t）+x（n-2）2c2′（t）+…+x（n-2）ncn′（t）=0，x（n-1）1c1′（t）+x（n-1）2c2′（t）+…+x（n-1）ncn′（t）=f（t）.

通过解方程组，最终得到关于c1′（t），c2′（t），…，cn′（t）的方程式，将它们积分处理，从而获得c与i的值，并将它们代入到（2）当中，能够得到方程1的特解.

这种方法不会限制f（t）的形式，因此，具有比较广的使用范围，可是在求解过程中，工作量相对较大.

（二）比较系数法

常系数线性非齐次方程，我们通常是会用比较系数法，它能够将微分方程转变为代数问题，自由项是

f（t）=pm（t）eλt

或者是f（t）=[pn（t）cosβt+ps（t）sinβt]eθt，

pm（t），pn（t），ps（t）是m次、n次以及s次多项式.当λ，α，β都是常数的时候，特解x ～ =tkQm（t）eλt，Qm（t）是待定多项式.或者x ～ =tk[Q（1）m（t）cosβt+Q（2）m（t）sinβt]eαt，m=max[n，s].Q（1）m（t），Q（2）m（t）是两个待定的m次项式，而k则是方程含根α±βt次数.

将其代入到方程（1）当中，并且比较两边t同次幂的系数，从而确定待定系数的多项式.按照线性微分方程解结构定理能够求出方程通解.

（三）创新解法

dny dxn +a1 dn-1y dxn-1 +…+an-2 d2y dx2 +an-1 dy dx +any=Am（x）eλx，  a

其中，ai∈ R （i=1，2，…，n），λ∈C，Am（x）是实变量x次数m的实系数多项式.在对a进行求解的时候，通常是按照与之相对应的齐次线性方程特征方程特征根和Am（x）eλx特征使用特定待定系数法加以解决，该方法存在的问题在于运算量非常大，从而影响计算过程，本文所使用的齐次线性方程特征方程、特征多项式、特征根和Am（x）eλx特征，使用这个公式能够比较容易地计算出方程a的特解.

假设和方程a所对应的齐次线性方程特征多项式是

F（r）=rn+a1rn-1+…+an-2r2+an-1r+an. b

此时，特征方程F（r）=0当中的r=λ，便是b的特征根.

主要结果和证明

引理1  b对r的l阶导数是

F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k rn-l-k， c

∪ i n （i=0，1，2，…，n）为组合数，在r=λ的时候，存在

F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k λn-l-k.

引理2  方程a特解

y（l）（x）=∑ l s=0 ∪ s l λsQ（l-s）（x）eλx

=∑ l s=0 ∪ s l λl-sQ（s）（x）eλx. d

Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式，s表示s阶导数.

引理3    ∑ n l=0 ∑ l s=0 an-1Uslλl-sQ（s）（x）eλx

=∑ n l=0 ∑ n-l k=0 akUln-kλn-k-lQ（l）（x）eλx.

Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式.

定理1  方程a的特解为y=Q（x）eλx的充分必要条件为

1 l！ ∑ n k=0 F（l）（r）Q（l）（x）=Am（x）. e

二、实例分析

解方程 d2y dx2 +2 dy dx +3y=（x+1）e3x.

解  特征多项式是F（r）=r2+2r-3，令F（r）=0，根是r=-3，r=1，λ=3不是特征根，所以可以设特解是（Ax+B）e3x，此时Q（x）=Ax+B，Q′（x）=A，Q′（x）=0，同时，F（3）=12，F′（3）=8，F′（3）=2，将其代入到e当中，存在F（3）Q（x）+F′（3）Q′（x）+ 1 2！ F′（3）Q′（x）=x+1，也就是12（Ax+B）+8A=x+1，方程的解为A= 1 12 ，B= 1 36 ，因此，特解是 1 36 （3x+1）e3x.

三、结 语

本文主要介绍了常数变易法、比较系数法等高阶常系数线性非齐次常微分方程基本的求解方法，同时，对求解方法进行了适当创新，推出了创新解法，并以此为基础，列举了实例进行系统分析，希望能够对实际应用产生一定的推动作用.

【参考文献】

[1]埃伯哈德·蔡德勒，蔡德勒，李文林.数学指南：实用数学手册[M].北京：科学出版社，2012.

[2]陈新明，杨逢建.線性常系数微分方程的求解公式[J].五邑大学学报（自然科学版），1999（1）：36.

[3]张鹏高.高阶常系数线性非齐次常微分方程的求解公式[J].湖南城市学院学报，1998（6）：61-63.

[4]宋燕.高阶常系数非齐次线性微分方程的解法[J].高等数学研究，2012（3）：22-23.

[5]陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法[J].宜春学院学报，2010（12）：13-14.

[6]陈华喜.高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法[J].宜春学院学报，2010（12）：13-14.

[7]吴亚敏.求高阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J].太原师范学院学报（自然科学版），2012（1）：40-42.