基于均一化模型的MFC悬臂梁静态变形分析

盛贤君，周少征

(大连理工大学 电气工程学院,辽宁 大连 116023)

0 引言

压电纤维复合材料致动器由于兼有压电系数高和柔韧性好的优点已逐渐在机翼变形与振动控制等领域取代了单纯材料的压电致动器[1-2]。为了准确获取压电纤维复合材料的宏观性质，需要对其细观结构进行研究[3]。粗压电纤维复合材料(MFC)是一种由锆钛酸铅压电陶瓷(PZT)纤维、集成电极、环氧树脂和聚酰亚胺构成的二维周期性压电纤维复合材料，而均一化技术是根据复合材料的细观结构分析其宏观性质的有效方法。为了分析MFC的宏观性质，DERAEMAEKER A等提出了一种基于平面应力假设和二维周期性位移场假设的MFC均一化模型[4]。在实际应用中，由于MFC与被驱动的结构之间存在力学耦合作用，难以完全且严格地满足上述假设条件。为了研究该均一化模型在实际应用中的精确性，以MFC致动器驱动悬臂梁静态变形为例，在ANSYS中分析了采用该均一化模型与不采用均一化模型下梁的挠度对比。在该均一化模型中，P1型MFC仅有e32和e33两个非零的压电应力常数，为了进一步简化该模型，提高分析效率，研究了忽略该模型中的e32效应对于分析MFC悬臂梁静态变形挠度精确性的影响。

1 MFC致动器的结构

由美国兰利研究中心研发的MFC致动器是一种高效且柔韧的压电致动器，目前由Smart Material 公司生产和销售。P1型MFC致动器的结构如图1所示。

图1 P1型MFC致动器的结构

其中，聚酰亚胺层为MFC致动器的表皮；铜电极为交替排列的正负电极，中间由环氧树脂填充；PZT为并列的长方体粗纤维，型号为PZT-5A1，中间由环氧树脂填充。PZT与铜电极的长度方向相互垂直，各层之间紧密相接。图1中，MFC致动器各组成部分的几何、力学和电学参数分别如表1～4所示。

表1 聚酰亚胺的几何和力学参数

表2 环氧树脂的力学和电学参数

表3 铜电极的几何和力学参数

表4 PZT粗纤维的几何、力学和电学参数

表4中，下标1、2和3表示的方向如图1所示，超过3的下标按IEEE标准定义。

2 MFC的均一化模型

采用均一化模型分析MFC悬臂梁的静态变形需要先利用MFC的典型体积单元(RVE)获得其均一化的宏观性质参数。P1型MFC的RVE的结构如图2所示，其均一化模型如图3所示。

图2 P1型MFC的RVE的结构

图3 P1型MFC的均一化模型

图3中，E为MFC的均一化电场强度大小，U为施加在MFC相邻铜电极上的电压大小。采用平面应力假设：MFC在1方向上的正应力(T1)为0，则MFC的均一化压电方程[4-5]为

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：VRVE为RVE的体积；Ti(i=2,…,6)和Si(i=2,…,6)分别为RVE中对应的应力和应变分量；D3为RVE中电位移矢量的方向3分量。

图4 RVE在6种周期性边界条件下的应力和电位移矢量

3 MFC悬臂梁静态变形分析

为了研究基于平面应力假设和二维周期性位移场假设的均一化模型在MFC悬臂梁静态变形分析中的适用性，在ANSYS中建立了一个利用MFC致动器驱动一个同等面积的厚为1 mm的铝悬臂梁仿真模型，此MFC致动器在图1中的2和3方向上分别包含5和20个RVE。仿真中考虑了MFC致动器的聚酰亚胺层和铜电极层，并且MFC致动器与铝悬臂梁由一层厚为18 μm的环氧树脂粘接。

MFC的均一化参数是基于平面应力假设的，不同于常规的三维模型参数，因此在使用MFC的均一化模型进行ANSYS仿真时进行了一些特殊的设置，具体包括：

2) 利用结点约束方程使MFC的均一化压电材料区域的S1为0。

以上设置考虑了MFC的均一化模型中电场只有方向3上的分量和平面应力假设，且能够保证材料刚度矩阵和介电常数矩阵的正定型。

图5 MFC悬臂梁在3种情况下的挠度

图6 MFC悬臂梁3种情况下的挠度曲线对比

4 结论

采用基于平面应力假设和周期性位移场假设的均一化模型分析了P1型MFC的宏观性质，给出了计算该均一化模型材料参数的方法和利用该均一化模型进行MFC悬臂梁ANSYS仿真的设置方法。分析了采用该均一化模型、不采用均一化模型及在采用该均一化模型基础上忽略e32效应3种情况下MFC悬臂梁的挠度。根据以上仿真分析结果可得如下结论：

1) 采用基于平面应力假设和二维周期性位移场假设的均一化模型分析MFC悬臂梁静态变形是可行的，采用该均一化模型仿真与不采用均一化模型仿真的MFC悬臂梁静态变形的挠度的相对误差不超过5.77%。

2) 在精度允许范围内，使用均一化模型分析P1型MFC悬臂梁静态变形挠度时可忽略其e32效应，从而进一步简化模型，提高分析效率。采用均一化模型且忽略其e32效应与采用原均一化模型相比，粱挠度的相对误差不超过1.36%。